Por que usamos "n - 1" na variância? Um exemplo simples explica

RESUMO: Um exemplo simples com bolas numeradas ajuda a entender por que usamos "n - 1" na variância e como surge o erro padrão da média. Inclui gráficos para facilitar a visualização.

Para explicar o erro padrão da média e apresentar a lógica dos graus de liberdade associados à variância da amostra, vamos usar um exemplo irreal — mas útil para compreender esses conceitos.

Imagine uma urna contendo três bolas numeradas: 4, 10 e 16. Um jogador retira uma bola, anota o número, retorna a bola à urna e faz uma nova retirada. Novamente, anota o número e retorna a bola. Em seguida, calcula a média dos dois números obtidos, que será sua pontuação no jogo.

Do ponto de vista teórico, temos uma população infinita de bolas numeradas (já que a bola é devolvida à urna após cada retirada), e esse   jogo pode ser repetido indefinidamente. A média populacional μ da variável em estudo é:

Como _​  pode assumir os valores 4, 10 ou 16, todos com probabilidade ​,  temos:                                              

                                                            

É importante notar que temos a média m da população, que é um parâmetro. Portanto, a variância populacional associada a essa média não envolve graus de liberdade. A dispersão da variável em torno da média m é dada por:                                   

                             

No caso do exemplo:

Vamos agora analisar os possíveis resultados do jogo. Como tanto a primeira quanto a segunda retirada podem resultar em 4, 10 ou 16, temos 9 combinações possíveis. A Tabela 1 mostra todas essas amostras de tamanho 2, suas médias e variâncias. 

Tabela 1

 Amostras de dois números que podem ser obtidas da população constituída por números 4, 10 e 16, com as respectivas médias e variâncias

Ao observar a Tabela 1, notamos dois fatos importantes: 

1.    A média das médias de todas as amostras possíveis é igual à média da população.

2.   A média das variâncias de todas as amostras possíveis é igual à variância da população, desde que as variâncias das amostras tenham sido calculadas com o divisor n−1 (isto é, com a variância amostral).

Dizemos, então, que:

🔺A média de uma amostra é uma estimativa não tendenciosa da média populacional.

🔺A variância de uma amostra (com divisor n−1) é uma estimativa não tendenciosa da variância populacional.

🔔 Por que "não tendenciosa"? Porque essas estimativas tendem, em média, aos valores verdadeiros dos parâmetros da população.

No nosso exemplo, as médias das amostras têm diferentes probabilidades:

🔸 Médias 4 e 16, cada uma ocorre 1 vez : probabilidade 1/9

🔸 Médias 7 e 13, cada uma ocorre 2 vezes: probabilidade 2/9​

🔸 Média 10, ocorre 3 vezes: probabilidade 3/9

A fórmula da média das médias ponderada pelas probabilidades é:

                                                  

Substituindo os valores da Tabela 1:

                        

Como as médias das amostras estão distribuídas em torno da média populacional, podemos medir essa dispersão: é a variância da média dada por:

                                

Substituindo os valores da Tabela 1:  

 

🔔 Na prática, porém, não temos acesso a todas as amostras possíveis — o pesquisador normalmente dispõe de apenas uma amostra. Mesmo assim, é possível estimar a variância da média por meio da por meio da fórmula:

                                                                                                            

Onde:

· s² é a variância da amostra (calculada com divisor n−1),

· n é o tamanho da amostra.

Essa fórmula permite estimar a variabilidade esperada da média da amostra, caso o estudo fosse repetido várias vezes. O desvio padrão da média, conhecido como erro padrão da média, é então:

Portanto, erro padrão da média é a raiz quadrada com sinal positivo da variância da média.

Esse valor nos diz o quanto a média obtida em uma amostra pode variar em torno da verdadeira média populacional, sendo fundamental para construções de intervalos de confiança e testes de hipóteses.

                                      🟩 Conclusão

O exemplo simples que desenvolvemos, com bolas numeradas e todas as combinações possíveis de amostras, mostra como conceitos muitas vezes abstratos na estatística — como erro padrão da média, variância amostral e graus de liberdade — têm uma base lógica clara e visual. Ao calcular todas as médias e variâncias possíveis, conseguimos entender por que a média amostral é uma boa estimativa da média da população e por que a variância deve ser dividida por n−1n - 1n−1 para não subestimar a variabilidade real.

Mais do que decorar fórmulas, é importante compreender a intuição por trás delas. E nada melhor do que um exemplo pequeno e completo, acompanhado de gráficos, para transformar teoria em compreensão.