Erro padrão da média e graus de liberdade

Para explicar erro padrão da média e mostrar a lógica dos graus de liberdade, vamos usar um exemplo irreal, mas que ajuda entender essa questão.

Imagine uma urna com três bolas numeradas. Os números são 4, 10 e 16. Um jogador retira uma bola, anota o número, retorna a bola na urna e retira uma segunda bola. Novamente, anota o número e retorna a bola. Depois calcula a média, que são seus pontos no jogo.

Em termos teóricos, você tem uma população infinita de bolas numeradas (porque você retira uma bola da urna e a retorna) e esse jogo pode ser jogado um número infinito de vezes. A média m da variável em análise é

Nessa fórmula, i = 1, 2,…; x_i pode assumir somente os valores 4, 10 ou 16, todos com probabilidade p_i =1/3. Então:
                                  

É importante notar que temos a média m da população, um parâmetro. Então a variância não está associada a graus de liberdade. A dispersão da variável em torno da média m é dada por:

No caso, temos:

Considere, agora, cada resultado possível no jogo. O primeiro número retirado da urna pode ser 4, ou 10 ou 16.  O segundo número também pode ser 4, ou 10 ou 16. Logo, pode ocorrer qualquer dos resultados apresentados na Tabela 1. Nessa tabela também são dadas as médias e as variâncias dos resultados que podem ser obtidos por um jogador.

Tabela 1 - Amostras de dois números que podem ser obtidas da população constituída por números 4, 10 e 16, com as respectivas médias e variâncias

Observe os resultados apresentados na Tabela 1: a média das médias de todas as amostras possíveis é igual à média da população e a média das variâncias de todas as amostras possíveis é igual à média da variância da população. Mas veja bem: para que a média das variâncias de todas as amostras seja igual à variância da população, é preciso que as variâncias das amostras tenham sido obtidas com o divisor n - 1.

Dizemos então que a média de uma amostra é uma estimativa não tendenciosa da média da população e a variância de uma amostra (com o divisor n - 1) é uma estimativa não tendenciosa da variância da população. Por que “não tendenciosa”? Porque elas tendem para os valores dos parâmetros.

Sabemos que a média das médias é dada pela soma dos produtos das médias das amostras pelas respectivas probabilidades p_i:

Para o exemplo, a Tabela 1 apresenta os nove arranjos que podem ocorrer quando se tomam amostras de tamanho 2 da população estudada.  Note que:

·                     as médias 4 e 16 ocorrem com probabilidade 1/9;

·                     as médias 7 e 13 ocorrem com probabilidade 2/9;

·                     a média 10 ocorre com probabilidade 3/9.

Então a média das médias é

As médias das amostras estão dispersas em torno da média m da população. Será possível medir o grau de dispersão das médias das amostras em torno da média da população?

É importante notar que temos a média m da população, que é um parâmetro. Então não associamos graus de liberdade à variância. A dispersão das médias das amostras em torno da média m da população é dada pela variância da média:

em que  p_i é a probabilidade de cada média ocorrer. Para as médias apresentadas na Tabela 1, a variância da média é:



Na prática, é impossível calcular a variância da média pela fórmula apresentada: o pesquisador dispõe de uma única amostra — e não de todas as amostras possíveis. Existe, porém, uma solução: já se demonstrou que a estimativa da variância da média é dada pela fórmula:

                                                       

em que  s² é a variância da amostra e n é o tamanho da amostra.

Uma amostra permite, portanto, estimar a variância da média que, como vimos, é uma estimativa da variabilidade das médias que seriam obtidas, caso o pesquisador tivesse tomado, nas mesmas condições, todas as amostras possíveis. Podemos calcular o desvio padrão da média, mais conhecido como erro padrão da média, que se indica por s_x e é dado por:

Erro padrão da média é a raiz quadrada com sinal positivo da variância da média.