Amplitude estudentizada (studentized range): você sabe o que é?

Seja Y uma variável aleatória com distribuição normal, média μ e desvio padrão σ. Ao coletar uma amostra de tamanho n, obtemos uma estimativa s para o desvio padrão populacional. Ordenando os dados, identificamos facilmente o valor mínimo e o valor máximo da amostra. A diferença entre esses dois valores é chamada amplitude.

Dividindo a amplitude pelo desvio padrão amostral s, obtemos a amplitude estudentizada, uma estatística adimensional:

Esse nome – amplitude estudentizada – é uma homenagem a  Student, pseudônimo usado por William Sealy Gosset, um dos fundadores da estatística moderna.

A distribuição da estatística q — a amplitude estudentizada — é conhecida há bastante tempo. Depende de dois fatores:

·     do nível de significância adotado (α).

·     dos graus de liberdade associados à variância amostral

Várias amostras

Considere agora que dispomos de k amostras independentes, todas de tamanho r, da variável aleatória Y, normalmente distribuída. Cada amostra é submetida a um tratamento e gera uma estimativa de média μ_i, i=1, 2, …, k.  Vamos supor variâncias iguais (homocedasticidade). Para testar a hipótese

                           H₀: m₁ = m₂= … m_k

contra a hipótese de que pelo menos uma amostra tem média diferente das demais, é feita uma análise de variância. A variância ponderada das k estimativas da variância σ² é dada pelo quadrado médio do resíduo da ANOVA (QMR).

Quando a ANOVA rejeita H₀​, queremos saber quais pares de médias diferem significativamente. Para isso, precisamos de um teste.

                        E o teste de Tukey?

Tukey criticou o uso indiscriminado do teste t após uma ANOVA, pois o erro tipo I se acumula com o número de comparações. Propôs então o teste da Diferença Honestamente Significante (HSD – Honestly Significant Difference) para comparar médias duas a duas, sem aumentar o nível de significância.

A estatística usada no teste de Tukey é:

onde:

               

  QMR é o quadrado médio do resíduo da ANOVA,

   r é o número de observações por grupo.

A estatística q segue uma distribuição de amplitude estudentizada. A distribuição dessa estatística depende

·     do nível de significância adotado (α).

·     do número de médias em comparação.

·     dos graus de liberdade associados ao quadrado médio do resíduo da ANOVA.

                  Atenção: as tabelas mudaram!

As tabelas antigas de q (como as publicadas em Pearson & Hartley) traziam o valor original da amplitude estudentizada.

Muitas das tabelas modernas estão “convertidas” para uso direto no teste de Tukey, ou seja, o valor original de q foi multiplicado por √2​:

Ambas usam o símbolo q, mas representam valores diferentes! Confira sempre a legenda da tabela.

           Exemplo de procedimento para o teste de Tukey

  São dadas as concentrações de estrôncio (mg/ml) na água de cinco locais diferentes[1]. Vamos fazer a análise de variância e comparar as médias pelo teste de Tukey, usando o programa SAS.  

 Concentrações de estrôncio (mg/ml) na água de cinco locais diferentes

                                         OUTPUT                                           

Para apresentar os resultados em um trabalho, é razoável escrever:

                           Análise de variância

              Comparação das médias pelo teste de Tukey

 

Local	Repetições	Média	Agrupamento
5	6	58,3	A
3	6	44,08		B
4	6	41,1		B
2	6	40,23		B
1	6	32,08			C

Nota: Médias que não compartilham a mesma letra são

significantemente diferentes entre si

Conclusão: A concentração de estrôncio (mg/ml) na água do Local 5 é significantemente maior do que em todos os outros. Nos locais 3, 4 e 2 A concentração de estrôncio (mg/ml) na água não tem diferença estatística. No local 1 A concentração de estrôncio (mg/ml) na água é significantemente menor do que em todos os outros.

 NOTAS

1.O exemplo apresentado é de

Zar, J.J.H. Biostatistical Analysis. New Jersey, Prentice Hall. 4ª ed. 1999, p.210.

2.Você encontra a Tabela de amplitude estudentizada de Tukey, por exemplo, em

http://www.real-statistics.com/statistics-tables/studentized-range-q-table/