A intenção é mostrar aqui a distribuição normal. Mas antes, vamos rever alguns conhecimentos
que você já tem.
Uma variável
aleatória contínua pode assumir qualquer valor entre seu máximo e seu
mínimo. A função de
densidade de probabilidades ou função
de densidade descreve a distribuição de probabilidades de uma variável
aleatória contínua. Tem as seguintes propriedades:
1. O gráfico da
função de densidade é contínuo considerado todo o domínio da variável, uma vez
que a variável aleatória é contínua.
2. A área
delimitada pela curva da função de densidade e o eixo das abscissas, considerado
todo o domínio da variável, é igual a 1.
3.
A probabilidade
de a variável aleatória contínua assumir valor entre a e b é igual à área
delimitada por a e b sob a função de densidade.
EXEMPLO
Seja X
uma variável aleatória contínua. Qual é a probabilidade de X assumir valor entre a e b, dado que a função de densidade de probabilidade é
A função de densidade de probabilidade, com a área pedida, pode ser
apresentada graficamente como mostra a figura abaixo.
·
O gráfico é típico:
Gráfico da distribuição normal
·
A área total sob
a curva é 1.
· A média, a mediana e a moda coincidem e estão
no centro da distribuição.
· A curva é simétrica em torno da média.
Logo, 50% dos valores são iguais ou maiores do que a média e 50% dos valores
são iguais ou menores do que a média.
Gráfico da distribuição normal: simetria
· A distribuição normal fica definida quando são dados dois parâmetros: a média, que se representa pela letra grega m (lê-se mi) e o desvio padrão, que se representa pela letra grega s (lê-se sigma). Então, não existe “uma” distribuição normal porque, quando mudam a média e o desvio padrão da variável que estamos estudando, muda o aspecto do gráfico. Veja a figura:
Gráfico de três distribuições normais
-∞ ≤ x ≤ ∞
Como
a intenção, aqui, é tratar a estatística sem muita matemática, não se preocupe
com a “fórmula”, porque vamos explicar a distribuição normal de maneira
intuitiva. Como se chegou a essa distribuição? A equação já era conhecida, mas
foi Gauss, o grande matemático e astrônomo do século XIX, quem usou a distribuição normal para
estudar erros de medida. Os astrônomos passaram então a usar a “lei dos erros”
para estudar medidas do mundo físico.
Quetelet,
um matemático e sociólogo do mesmo século XIX achou que poderia aplicar a “lei
dos erros” ao ser humano. Desenvolveu a ideia de que poderia determinar o “homem
médio” por meio do chamou “fatos da vida”. Não chegou a isso, obviamente, mas
foi quem primeiro estudou a distribuição das medidas biométricas.
Fez
muitas medições em nada menos do que 5732 soldados escoceses.
A tabela dada abaixo apresenta a distribuição de frequências para o perímetro
torácico dos soldados.
Distribuição de frequências para
perímetro torácico de homens adultos,
em polegadas
Veja a tabela: a
proporção de soldados escoceses com 38
polegadas de perímetro torácico (ou seja, entre 37,5 e 38,5 polegadas), por
exemplo, era 0,07135, ou seja, praticamente
7%. Agora, olhe o histograma apresentado na figura abaixo: na base do retângulo é dado o intervalo de 37,5
a 38,5 polegadas; a proporção de soldados
escoceses com perímetro torácico entre 37,5 e 38,5 polegadas deve ser lida no
eixo das ordenadas (aproximadamente 0,07, ou 7%).
Histograma para a distribuição de frequências
do perímetro torácico
de homens adultos, em polegadas
Toda distribuição de frequências é construída com os
dados de uma amostra. Se a variável for contínua, você pode
construir um histograma que tem, muitas vezes, a aparência da figura acima. Nesses casos, a distribuição normal se ajusta ao histograma,
como você pode ver na figura dada abaixo.
Curva normal ajustada ao histograma para perímetro torácico
de homens adultos, em polegadas
Mas
por que será que medidas biológicas, medidas de produtos fabricados em série,
erros de medida têm distribuição aproximadamente normal? Porque sobre todas
essas variáveis atuam muitos fatores, às vezes de forma positiva, às vezes de
forma negativa. Para compreender isso, um ótimo exemplo, apresentado abaixo, é
de Mlodinov.
Imagine
que vamos fazer 150 pães um a um, seguindo uma receita que produz pães com 500
gramas. Por simples acaso, poderemos colocar mais, ou menos, farinha e/ou leite
e/ou açúcar em alguns pães. O forno pode estar mais quente, ou menos quente
quando assarmos alguns dos pães. Pode haver um pouco mais, e às vezes um pouco
menos de umidade no ar enquanto alguns pães crescem; a temperatura ambiente
pode estar um pouco mais alta, ou um pouco mais baixa e assim por diante. O fato
é que, no final, teremos alguns pães com mais do que 500 gramas, outros com
menos e a maioria com pesos muito próximos de 500 gramas.
O peso
de nossos pães irá variar de acordo com a distribuição normal. Por quê? Porque
sobre o peso de nossos pães atuou grande número de variáveis aleatórias
independentes – algumas atuaram para aumentar
o peso dos pães, outras para diminuir.
Cada variável tem efeito pequeno, mas os efeitos se somam. É pouco comum que um
pão só sofra efeitos positivos, ou só sofra efeitos negativos – esses seriam as
caudas da curva. A maior parte dos pães sofre efeitos positivos e negativos em
quantidade que dão surgimento a uma distribuição
normal.
As
variáveis que estudamos sofrem o efeito de uma soma de fatores (variáveis
aleatórias independentes). Cada fator afeta as medidas do que estamos estudando
de uma forma, às vezes positiva (por exemplo, colocamos mais farinha no pão) ou
negativa (colocamos menos farinha no pão). O efeito da soma de todas essas
variáveis aleatórias (quantidade de açúcar, farinha, calor, umidade etc.) sobre
o que estamos medindo (peso dos pães) produz uma distribuição normal.
VEJA:
Mlodinow, L. O andar do bêbado. Rio de
Janeiro: Zahar, 2009.
Daly, F.; Hand, D; Jones, C;
Lunn, AD: Elements of
Statistics: Addison Wesley, 1995.
onlinestatbook.com/2/normal_distribution/intro.html
stattrek.com/.../dictionary.aspx?...Probability%20density%20func...
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