Incerteza tipo A da medição

Incerteza da medição significa dúvida sobre a validade do resultado obtido.

Diversos fatores contribuem para essa incerteza: limitação da precisão do instrumento, procedimentos inadequados, variações ambientais e atuação do operador. O uso de boas práticas — como calibração rastreável, cálculos cuidadosos, manutenção de registros e verificações — pode reduzir as incertezas de medição, mas não as eliminar totalmente.

De qualquer modo, o resultado da medição de um mensurando deve fornecer:

• A melhor estimativa do valor do mensurando (denotada por $X$), e
• Uma estimativa da incerteza associada (denotada por $\mathrm{\Delta }X$).

Assim, representamos o resultado como:

Isso significa que novas medições do mesmo mensurando, realizadas em condições iguais, provavelmente estarão no intervalo:

$$$$

Erro e Incerteza

Erro é a diferença entre o valor medido e o valor verdadeiro (que nem sempre é conhecido).
Incerteza, por sua vez, descreve uma faixa de valores dentro da qual o valor verdadeiro provavelmente se encontra. Ou seja, a incerteza é uma estimativa quantificada da dúvida associada a uma medição.

Repetição de Medições

Para estimar a incerteza da medição, a prática mais comum é repetir a medição do mesmo mensurando $n$ vezes, em condições bem controladas.
Com esses $\mathrm{<i>n</i>}$ resultados, aplicam-se técnicas estatísticas para calcular:

• A melhor estimativa do valor do mensurando ($X$);
• A estimativa da incerteza ($\mathrm{\Delta }X$).

Incerteza Tipo A

Incerteza Tipo A é a avaliação da incerteza baseada em análise estatística dos dados de medições repetidas sob as mesmas condições.

• A melhor estimativa do valor do mensurando é a média aritmética dos resultados:

$$$$

$$\stackrel{}{\mathrm{<o:p\; style="text-align:\; center;"></o:p>}}$$

• A melhor estimativa da incerteza associada ao resultado é o desvio padrão experimental:

$$\stackrel{}{}$$

$$\mathrm{<o:p></o:p>}$$

O desvio padrão mede a quantidade típica de variação dos valores em torno da média.

Cálculo do Desvio Padrão: Exemplo

Considere os dados: 3; 6; 5; 7; 9.

Passos:

1. Escrever os dados em coluna.
2. Calcular a média aritmética.
3. Determinar os desvios de cada valor em relação à média.
4. Elevar cada desvio ao quadrado.
5. Somar os quadrados dos desvios.
6. Dividir o total por $n-1$n−1.
7. Extrair a raiz quadrada.

•      Média: $\bar{x}=6$
•      Desvio padrão experimental:

$$$$

$$$$

Estimativas com Vários Conjuntos de Medições

O procedimento de repetir as medições pode ser feito várias vezes, produzindo vários conjuntos de $n$ medições. Cada conjunto fornece uma média e um desvio padrão.

Por exemplo, imagine que foram feitas quatro séries de cinco medições do tempo de oscilação de um pêndulo (dados fictícios). Para cada série:

• Calcula-se a média da série;
• Calcula-se o desvio padrão da série.

A média das médias será a melhor estimativa do valor do mensurando.

Se $\mathrm{<i>k</i>}$ conjuntos de medições são obtidos:

• As médias tendem a ter dispersão menor do que as medições individuais;
• A variabilidade entre as médias é avaliada pelo desvio padrão da média, dado por:

$$$$

$${}_{}$$

Incerteza Tipo A da Média

A incerteza tipo A associada à média é o desvio padrão da média

                                                 

Se foram feitas $\mathrm{<i>n</i>}$ medições individuais, a probabilidade de uma nova média cair no intervalo:

$$<span\; style="font-family:\; "Georgia",serif;\; font-size:\; 12pt;\; line-height:\; 150\%;"><span\; style="font-size:\; 12pt;\; font-style:\; italic;\; text-indent:\; 0cm;">é\; aproximadamente\; </span><strong\; data-end="4876"\; data-start="4867"\; style="font-size:\; 12pt;\; font-style:\; italic;\; text-indent:\; 0cm;">68,3\%</strong><span\; style="font-size:\; 12pt;\; font-style:\; italic;\; text-indent:\; 0cm;">,\; conforme\; ilustrado\; (em\; vermelho)\; pela\; distribuição\; normal\; (Gaussiana).</span></span><span\; style="font-family:\; "Georgia",serif;\; font-size:\; 12pt;\; line-height:\; 150\%;"><span\; style="font-size:\; 12pt;\; font-style:\; italic;\; text-indent:\; 0cm;"><br></span></span><span\; style="font-family:\; Georgia,\; serif;\; font-size:\; 12pt;\; line-height:\; 150\%;\; text-align:\; center;"></span>$$

Essa interpretação se baseia em princípios estatísticos fundamentais e, para amostras razoavelmente grandes (por exemplo, $n\ge 15$), a aproximação é bastante confiável. 

Exemplo

Foram realizadas cinco medições do comprimento de uma folha de papel:

$$$$

$$\mathrm{}$$

                 31,3 cm    31,15 cm   31,26 cm    31,02 cm  31,20 cm   

             A média é:

            

                                Para calcular o desvio padrão experimental:     

                                  O desvio padrão experimental da média é
                                 

   

                                 A incerteza Tipo A para a média é dada pelo intervalo, em centímetros:

 

31,19 - 0,05, 31,19 + 0,05

Observações finais

$$$$

• Sempre que possível, indique o número de medições realizadas.
• Indique explicitamente o método de cálculo da incerteza (Tipo A, Tipo B, ou ambos).
• Em contextos formais, além da incerteza padrão ($s_{\stackrel{}{}}$xˉpode ser exigido calcular incerteza expandida (multiplicando $s$xˉpor um fator de cobertura).

                                                    Para pensar

• Nenhuma medida é perfeita: viés, variação e limites do instrumento nos afastam do 'valor verdadeiro'."

• "Incerteza é a arte de quantificar essa 'distância'."

Incerteza absoluta e incerteza relativa

  Resolução é a menor indicação que pode ser observada no instrumento. Por exemplo, em uma fita métrica, o valor medido varia de 1 cm em 1 cm. Então, a resolução da fita métrica é 1 cm.

 

    Por definição, resolução é a medida do menor incremento mensurável, ou seja, é a menor distância que pode fazer um valor mudar. Se você medir o diâmetro de buraco de fechadura com uma fita métrica, não vai achar diferenças, mesmo que faça 100 medições. Isto porque a resolução da fita métrica não é suficiente para esse seu propósito.

 

     Se o instrumento medir de uma em uma unidade, qualquer medida entre 6,5 e 7,5 é lido como 7.

    Se o instrumento medir de duas em duas unidades, qualquer medida entre 7 e 9 é lido como 8.

    Vimos, em outra postagem (Avaliação tipo B da    incerteza de medição) o que é incerteza da medição. Quando você relata a medida de uma grandeza, deve escrever:

                            (X+ ∆X) unidade de medida

em que X é a melhor estimativa da medida e ∆X é a incerteza associada à medida. Com isso, você está informando que, se fizer outra medição da mesma grandeza em iguais condições, o resultado provavelmente estará no intervalo:

                               (X - ∆X) a (X + ∆X). 

    Também vimos, naquela postagem, a definição de estimativa tipo B da incerteza da medição. Vamos entender agora que, para avaliar a incerteza de uma única medição, é preciso considerar a resolução do instrumento utilizado. Por exemplo, se você souber que o bebê nasceu com 50 cm de comprimento, não saberá determinar a incerteza dessa medida apenas com essa informação.

    Entretanto, se você souber que a equipe de enfermagem utiliza um instrumento graduado em centímetros, pode afirmar que o comprimento do bebê está entre 49,5 cm e 50,5 cm. Pode expressar assim  a medição: (50,0 ± 0,5)cm. A incerteza  da medição está, portanto, explícita: é de 0,5 cm para mais ou para menos.

 

    Quem mediu o bebê talvez tenha visto o que está na figura abaixo.  

             

  Nesse exemplo, a incerteza decorre unicamente devido unicamente à limitação do instrumento de medição, pressupondo que esteja devidamente calibrado. A incerteza é representada por X + ΔX, em que ΔX é a incerteza. Nos casos em que é feita uma única medição, a incerteza não é calculada por estatística (desvio padrão). É chamada incerteza tipo B.

       Agora, considere a massa do bebê: a menor divisão da escala da balança usada para a medição é de 10 g (0,01 kg). Para explicitar que o 3,54 kg está associado a certo grau de incerteza, considere que o valor medido está entre 3,535 kg e 3,545 kg. Escreva: (3,54 ± 0,005) kg. 

                    Incerteza absoluta e Incerteza relativa

    Quando se diz X + ΔX, o incremento ΔX representa  a incerteza absoluta (ou erro absoluto, termo menos usado atualmente). A incerteza relativa indica quão significativa é a incerteza absoluta em relação ao valor medido. É dada por:

       A incerteza relativa  pode ser dada em porcentagem. Para isso, multiplique a fração por 100:

 

                                EXEMPLO

No velocímetro de um carro, a menor divisão da escala é 2 km/h. Se você leu no velocímetro 60 km/h, qual é a incerteza relativa?

 

 A incerteza absoluta é metade da menor divisão da escala, ou seja,1 km/h.

 A incerteza relativa é dada por

A incerteza relativa é adimensional, isto é, não tem unidade de medida. Isto acontece porque a incerteza absoluta e o resultado da medição são dados na mesma unidade – que então se cancelam. Por ser adimensional, a incerteza relativa é útil para comparar a precisão de grandezas físicas diferentes.

        
                                           EXEMPLO

 Lembre-se do bebê: que medida foi feita com maior incerteza, a massa ou o comprimento? Não se comparam grandezas físicas diferentes, mas podemos comparar incertezas relativas.

Para comprimento, a incerteza relativa é

                       

 Para massa, a incerteza relativa é

             

 É maior a incerteza da medida de comprimento. 

 

 

As definições de incerteza absoluta e incerteza relativa foram explicadas para estimativa tipo B da incerteza da medição, mas são igualmente válidas para estimativa tipo A da incerteza da medição.

EXERCÍCIOS

 

1.  Você mediu a altura de uma criança com um instrumento graduado em centímetros. Leu 80 cm. Pode dizer a incerteza?

2.  Você mediu a temperatura de uma criança com um termômetro graduado em graus Celsius. A menor divisão da escala é 2º C. Leu 38º C. Pode dizer a incerteza?

Respostas

1 Altura H = (80 ± 0,5)cm; incerteza absoluta = 0,5 cm; incerteza relativa em porcentagem=(0,5/80) x 100 = 0,625%.

2 Temperatura t = (38 ± 1)º C; incerteza absoluta = 1ºC; incerteza relativa em porcentagem=(1/38) x 100=2,63%.

          

Exatidão e precisão

Exatidão significa o grau de concordância entre o resultado da medição e o valor verdadeiro da grandeza. Quanto mais exato for o sistema, mais próximo do valor verdadeiro estará o resultado da medição.

Na prática, o valor verdadeiro não é conhecido. A exatidão descreve, então, a proximidade do resultado da medição com um valor padrão ou de referência ou por técnica reconhecida de medição.

 

Precisão é o grau com que repetidas medições da mesma grandeza fornecem resultados muito próximos. Os valores diferem uns dos outros devido aos erros aleatórios. Quanto maior for a precisão, menor será a dispersão dos dados.

 

É importante entender que exatidão e precisão são conceitos diferentes. A ilustração clássica da distinção entre tais conceitos é dada pelos jogos de tiro ao alvo:

 

·      Flechas no centro do alvo e próximas uma das outras indicam exatidão e precisão.

·      Flechas bem próximas umas das outras (mesmo que longe do alvo) indicam precisão.

·      Flechas afastadas do alvo e dispersas indicam nem exatidão, nem precisão.

 

Para medir exatidão e precisão, mede-se repetidamente a mesma grandeza:

·   Exatidão é dada pela diferença entre a média dos resultados das medições e o valor verdadeiro das medidas.

·        Precisão é dada pelo desvio padrão dos resultados das medições. 

                                    EXEMPLO

 

Você mediu uma peça três vezes e obtive os resultados:

 

15,0 pol.; 15,1 pol.; 14,9 pol.

Houve precisão e você escreve:

(15,0±0,01) pol.

 

Mas se o valor verdadeiro for 40,0 cm, houve exatidão?

Uma polegada são 2,54 centímetros.

 Então 15,0 X 2,54 = 38,1 cm. Faltou exatidão.

 

Exatidão e precisão dos resultados das medições são atributos diferentes:

·        Exatidão indica quão perto as medidas estão do valor verdadeiro (ou de referência).

·        Precisão mede quão perto as medidas estão umas das outras, mesmo que elas estejam longe do valor verdadeiro.

EXEMPLO

Veja outro exemplo de exatidão e precisão de medidas tomadas experimentalmente. Foram feitas medições de um corpo de prova com 100 mg. Se foram obtidos os valores

                 98,5; 98,6; 98,7; 98,5,

os resultados são precisos, mas pouco exatos. Se foram obtidos os valores

                  99,6; 101,6; 99,6; 100,5,

os resultados são exatos, mas pouco precisos.

 

 

É importante lembrar: aparelhos têm, em geral, boa precisão, mas, devido ao muito uso ou aos maus tratos, podem não estar calibrados. Então, não considere corretos resultados apenas porque eles são precisos – eles também precisam ter exatidão.

 

Para julgar a exatidão e a precisão dos resultados das medições, calculam-se a tendência e o desvio padrão.

 

Tendência ou viés (em inglês, bias) é a diferença entre o valor convencional ou de referência e a média das medidas obtidas de uma grandeza, nas mesmas condições.

O desvio padrão, que se indica por s, é uma medida da dispersão dos dados de uma amostra. Então, se você tem uma série de resultados de medições (uma amostra das medições possíveis), o desvio padrão é dado pela fórmula:

EXEMPLO

 

Reveja o primeiro exemplo desta postagem. Você mediu uma peça três vezes e obteve os resultados:

 

15,0 pol.; 15,1 pol.; 14,9 pol.

 

A média das medidas é 15,0 pol. O valor verdadeiro é 40 cm =15,7 pol. A tendência ou bias é:

 

Bias = 15,7-15,0=0,7

 

Para calcular o desvio padrão, que é uma medida da dispersão, use o EXCEL, mas veja o procedimento de cálculo na tabela abaixo, lembrando que desvio é diferença entre o valor observado e a média.

 

Agora, observe as figuras abaixo, que apresentam, “em teoria”, erros de medição: na primeira, você, você vê resultados de infinitas medições feitas por dois operadores. Ambos obtiveram medidas exatas (tendência igual a zero), mas o que apresentou a curva em vermelho teve precisão maior do que o que apresentou a curva em preto.

Na segunda figura, você também vê resultados de medições feitas por dois operadores. Ambos obtiveram medidas com igual precisão, mas a exatidão do que apresentou a curva à direita é maior – considerando que o valor verdadeiro está marcado em vermelho. 

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