Avaliação tipo A da incerteza da medição

Incerteza da medição significa dúvida sobre a validade do resultado da medição. Na verdade, todo resultado de medição está associado a um grau de incerteza  explicada por diversos fatores tais como limitação da precisão do instrumento, procedimento utilizado, operador. Quando você relata o resultado da medição de um mensurando deve, portanto, escrever:

 (X + ∆X) unidade de medida

em que X é a melhor estimativa do valor do mensurando e  DX é a incerteza  do resultado da medição. É razoável inferir que os resultados obtidos de outras medições do mesmo mensurando em iguais condições estarão, provavelmente, no intervalo

                       (X - ∆X) a (X + ∆X).

Para obter a incerteza da medição, uma prática comum é medir o mesmo mensurando repetidas vezes nas mesmas condições e usar métodos estatísticos para a análise dos resultados.

Avaliação tipo A da incerteza-padrão 

Avaliação Tipo A da incerteza é qualquer método de avaliar a incerteza do resultado de uma medição em que se use análise estatística de uma série de observações. 

Vamos entender o procedimento para avaliação tipo A da incerteza-padrão, também conhecida como incerteza ao nível do desvio padrão. Dados os resultados de n medições do mesmo mensurando nas mesmas condições, isto é:

a melhor estimativa do valor do mensurando é a média aritmética dos resultados:

O desvio padrão experimental é

A avaliação tipo A da incerteza-padrão é dada pelo desvio padrão experimental. Logo, a avaliação tipo A da incerteza-padrão expressa a incerteza do resultado de uma medição em termos do desvio padrão. É indicada, principalmente na literatura em língua inglesa, pela letra u(X), porque u é a primeira letra de uncertainty. 

Se a média aritmética e o desvio padrão experimental foram obtidos de grande número de medições (15 ou 20 são suficientes), a probabilidade de uma nova medição cair no intervalo indicado na distribuição de Gauss, mostrada na figura abaixo, é aproximadamente 68,3% (perto de ⅔).

Vamos agora imaginar que o procedimento descrito foi repetido várias vezes e produziu vários conjuntos de resultados de n medições. Cada conjunto de resultados fornece estimativas diferentes de média e do desvio padrão. 

Como exemplo, imagine que, por quatro vezes, você fez cinco medições do tempo de oscilação de um pêndulo. Os resultados (fictícios) estão na tabela dada em seguida. Você terá quatro médias aritméticas e quatro desvios padrões experimentais.

Quatro conjuntos de medições do tempo de oscilação de um pêndulo 

A média das médias é a melhor estimativa do valor do mensurando.

Então, se você fizer n medições individuais do mesmo mensurando k vezes nas mesmas condições, você pode calcular k médias. Espera-se que essas médias variem menos entre si do que as medições individuais do mesmo mensurando.

Mas para medir a dispersão das médias de n medições do mesmo mensurando nas mesmas condições, você precisaria fazer n medições do mensurando, um número infinito de vezes, o que é impossível. Os estatísticos, porém, já demonstraram: o desvio padrão experimental da média é calculado pela expressão:

É possível, portanto, obter o desvio padrão experimental da média, mesmo com um único conjunto de medições. Se você só tivesse apenas o primeiro conjunto de medidas, teria média 3,6 s e desvio padrão experimental igual a 0,2 s. O desvio padrão da média seria:

Para indicar avaliação Tipo A da incerteza da média,  escrevemos:

Se a média e o desvio padrão experimental da média foram obtidos a partir de um número n de medições, a probabilidade de uma nova media cair no intervalo

                                              

é aproximadamente 68,3%.

 

EXEMPLO

   1.     São dados os resultados de cinco medições do comprimento de uma folha de papel sulfite:

   31,3 cm    31,15 cm   31,26 cm    31,02 cm  31,20 cm   

             A média é:

            

                        Para calcular o desvio padrão experimental:

        

Literatura

Incerteza absoluta e incerteza relativa

Resolução é a menor indicação que pode ser observada no instrumento. Por exemplo, em uma fita métrica, o valor medido varia de 1 cm em 1 cm. Então, a resolução da fita métrica é de 1 cm.

 

Por definição, resolução é a medida do menor incremento mensurável, ou seja, é a menor distância que pode fazer um valor mudar. Se você medir o diâmetro de buraco de fechadura com uma fita métrica, não vai achar diferenças, mesmo que faça 100 medições. Isto porque a resolução da fita métrica não é suficiente para esse seu propósito.

 

 Se o instrumento medir de uma em uma unidade, qualquer medida entre 6,5 e 7,5 é lido como 7.

Se o instrumento medir de duas em duas unidades, qualquer medida entre 7 e 9 é lido como 8.

Vimos, em outra postagem (Avaliação tipo B da    incerteza de medição) o que é incerteza da medição. Quando você relata a medida de uma grandeza, deve escrever:

                            (X+ ∆X) unidade de medida

em que X é a melhor estimativa da medida e ∆X é a incerteza associada à medida. Com isso, você está informando que, se fizer outra medição da mesma grandeza em iguais condições, o resultado provavelmente estará no intervalo:

 

                              (X - ∆X) a (X + ∆X).

 

Também vimos, naquela postagem, a definição de estimativa tipo B da incerteza da medição. Vamos ver agora que, para avaliar a incerteza de uma única medição, é preciso considerar a resolução do instrumento usado na medição. Por exemplo, se você souber que o bebê nasceu com 50 cm de comprimento, não sabe a incerteza dessa medida.

 

Porém, se soubermos que a enfermagem usa um instrumento de medida graduado em centímetros, o comprimento do bebê está entre 49,5 cm e 50,5 cm. Escrevemos: (50,0 ± 0,5) cm. Está assim explícita a incerteza sobre o resultado da medição: essa incerteza é de 0,5 cm para mais ou para menos.

 

Talvez o operador tenha visto o que está na figura abaixo.

                                

No exemplo, a incerteza é explicada apenas pela limitação do instrumento de medição, que se entende esteja calibrado. Escreve-se X + DX, em que DX é a incerteza. Nos casos em que se faz uma única medição, a incerteza não é avaliada por estatística (desvio padrão). É a chamada incerteza tipo B.

 

Veja agora a massa do bebê: a menor divisão da escala da balança em que o bebê foi medido é 10 g = 0,01 kg. Para explicitar que 3,54 kg estão associados a certo grau de incerteza, considere que o valor medido está entre 3,535 kg e 3,545 kg. Escreva: (3,54 ± 0,005) kg. O operador poderia ter visto o que está na figura abaixo.

 

          Incerteza absoluta

Quando se diz X + DX, o incremento DX é a incerteza absoluta (ou erro absoluto, em desuso).

 

Incerteza relativa

 

A incerteza relativa  mostra quão grande é a incerteza absoluta, em relação ao tamanho do que foi medido. É dada por:

 

A incerteza relativa  pode ser dada em porcentagem. Para isso, multiplique a fração por 100:

 

                        EXEMPLO

No velocímetro de um carro, a menor divisão da escala é 2 km/h. Se você leu no velocímetro 60 km/h, qual é a incerteza relativa?

 

 A incerteza absoluta é 1 km/h e a incerteza relativa é 1/100 = 0,01 ou 1%. 

A incerteza relativa é adimensional, isto é, não tem unidade de medida. Isto acontece porque a incerteza absoluta e o resultado da medição são dados na mesma unidade – que então se cancelam. Por ser adimensional, a incerteza relativa é útil para comparar a precisão de grandezas físicas diferentes.

              
                                                        EXEMPLO

 

Lembre-se do bebê: que medida foi feita com maior incerteza, a massa ou o comprimento? Não se comparam grandezas físicas diferentes, mas podemos comparar incertezas relativas.

Para comprimento, a incerteza relativa é

 

 Para massa, a incerteza relativa é

 

 É maior a incerteza da medida de comprimento. 

 

 

As definições de incerteza absoluta e incerteza relativa foram explicadas para estimativa tipo B da incerteza da medição, mas são igualmente válidas para estimativa tipo A da incerteza da medição.

 

EXERCÍCIOS

 

1.  Você mediu a altura de uma criança com um instrumento graduado em centímetros. Leu 80 cm. Pode dizer a incerteza?

2.  Você mediu a temperatura de uma criança com um termômetro graduado em graus Celsius. A menor divisão da escala é 2º C. Leu 38º C. Pode dizer a incerteza?

Respostas

1 Altura H=(80±0,5)cm; incerteza absoluta=0,5 cm; incerteza relativa em porcentagem=(0,5/80)x 100=0,625%.

2 Temperatura t=(38±1)ºC; incerteza absoluta=1ºC; incerteza relativa em porcentagem=(1/38) x 100=2,63%.

          

Exatidão e precisão

Exatidão significa o grau de concordância entre o resultado da medição e o valor verdadeiro da grandeza. Quanto mais exato for o sistema, mais próximo do valor verdadeiro estará o resultado da medição.

Na prática, o valor verdadeiro não é conhecido. A exatidão descreve, então, a proximidade do resultado da medição com um valor padrão ou de referência ou por técnica reconhecida de medição.

Precisão é o grau com que repetidas medições da mesma grandeza fornecem resultados muito próximos. Os valores só diferem uns dos outros devido aos erros aleatórios. Quanto maior for a precisão, menor será a dispersão dos dados.

É importante entender que exatidão e precisão são conceitos diferentes. A ilustração clássica da distinção entre tais conceitos é dada pelos jogos de tiro ao alvo:

·     Flechas no centro do alvo e próximas uma das outras indicam exatidão e precisão.

·      Flechas bem próximas umas das outras (mesmo que longe do alvo) indicam precisão.

·           Flechas afastadas do alvo e dispersas indicam nem exatidão, nem precisão.

Para medir exatidão e precisão, mede-se repetidamente a mesma grandeza:

·       Exatidão é dada pela diferença entre a média dos resultados de suas medições e o valor verdadeiro das medidas.

·         Precisão é dada pelo desvio padrão dos resultados de suas medições. 

EXEMPLO

Você mediu uma peça três vezes e obtive os resultados:

15,0 pol.; 15,1 pol.; 14,9 pol.

Houve precisão e você escreve:

(15,0±0,01) pol.

Mas se o valor verdadeiro for 40,0 cm, houve exatidão?

Uma polegada são 2,54 centímetros.

Então 15,0 X 2,54 = 38,1 cm. Faltou exatidão.

A exatidão e a precisão dos resultados das medições são atributos diferentes: exatidão indica quão perto as medidas estão do valor verdadeiro (ou de referência), enquanto a precisão mede quão perto as medidas estão umas das outras, mesmo que elas estejam longe do valor verdadeiro.

EXEMPLO

Veja outro exemplo de exatidão e precisão de medidas tomadas experimentalmente. Foram feitas medições de um corpo de prova com 100 mg. Se foram obtidos os valores 98,5; 98,6; 98,7; 98,5, os resultados são precisos, mas pouco exatos. Se foram obtidos os valores 99,6; 101,6; 99,6; 100,5, os resultados são exatos, mas pouco precisos.

É importante lembrar: aparelhos têm, em geral, boa precisão, mas, devido ao muito uso ou aos maus tratos, podem não estar calibrados. Então, não considere corretos resultados apenas porque eles são precisos – eles também precisam ter exatidão.

Para julgar a exatidão e a precisão dos resultados das medições, calculam-se a tendência e o desvio padrão.

Tendência ou viés (também referida em inglês, bias) é a diferença entre o valor convencional ou de referência e a média das medidas obtidas de uma grandeza, nas mesmas condições.

O desvio padrão, que se indica por s, é uma medida da dispersão dos dados de uma amostra. Então, se você tem uma série de resultados de medições (uma amostra das medições possíveis), o desvio padrão é dado pela fórmula:

EXEMPLO

Reveja o primeiro exemplo desta postagem. Você mediu uma peça três vezes e obteve os resultados:

15,0 pol.; 15,1 pol.; 14,9 pol.

A média das medidas é 15,0 pol. O valor verdadeiro é 40 cm =15,7 pol. A tendência ou bias é:

Bias = 15,7-15,0=0,7

Para calcular o desvio padrão, que é uma medida da dispersão, use o EXCEL, mas veja o procedimento de cálculo na tabela abaixo, lembrando que desvio é diferença entre o valor observado e a média.

Agora, observe as figuras abaixo, que apresentam, “em teoria”, erros de medição: na primeira, você, você vê resultados de infinitas medições feitas por dois operadores. Ambos obtiveram medidas exatas (tendência igual a zero), mas o que apresentou a curva em vermelho teve precisão maior do que o que apresentou a curva em preto.

Na segunda figura, você também vê resultados de medições feitas por dois operadores. Ambos obtiveram medidas com igual precisão, mas a exatidão do que apresentou a curva à direita é maior – considerando que o valor verdadeiro está marcado em vermelho. 

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