Desvio padrão: medida de dispersão dos resultados das medições

    Repetir a medição é a melhor maneira de avaliar a incerteza do resultado, desde que estejamos confiantes de que os erros sistemáticos foram minimizados. Se possível, repetimos as medições no mesmo mensurando em iguais condições muitas vezes, que indicaremos por n. Aplicamos depois técnicas estatísticas para avaliar a incerteza.

    Para entender a lógica dessa avaliação, vamos usar um exemplo clássico: a medição de tempo com um cronômetro. Isto porque o tempo de reação da pessoa que liga e desliga um cronômetro é aleatório e é, de longe, o fator que mais afeta o erro da medição do tempo.

    Imagine então que você tomou nas mãos um cronômetro para medir o período de oscilação de um pêndulo ¹. Você fez n = 5 medições. Os resultados, em segundos, foram: 

3,9; 3,5; 3,7; 3,4; 3,5.

    A melhor estimativa para o período de oscilação do pêndulo é a média aritmética dos n = 5 resultados que você obteve: 

    Como temos repetições, podemos estimar também os erros aleatórios. Observe os desvios de cada medida em relação à média, que estão apresentados na tabela abaixo. São as estimativas dos erros aleatórios.

Medidas do período de oscilação do pêndulo e desvios em relação à média, segundo a ordem da medição

    Os resultados das medições estão dispersos em torno da média, de maneira aleatória. Mas precisamos julgar o grau de dispersão desses valores, para avaliar a incerteza da medição. Alguém poderia sugerir usar a média dos desvios em relação à média como medida de dispersão. Mas veja:  

    A média dos desvios é igual a zero porque desvios com sinal negativo cancelam desvios com sinal positivo.  Você pode se livrar dos sinais negativos? Claro: é só elevar os desvios ao quadrado. Todos os números ficarão positivos. Você então calcula a média e extrai a raiz quadrada do resultado. Chega, assim, a muito famosa fórmula do desvio padrão:

                              

    Essa fórmula é, porém, indicada para calcular o desvio padrão quando se tem medições de toda "população". População, aqui, significa  que precisaríamos fazer um número infinito de medições do mesmo mensurando, nas mesmas condições, para poder calcular s.

    Mas você só tem cinco medições do período de oscilação do pêndulo. Então a fórmula tem uma correção e é indicada por s. O desvio padrão de uma amostra é

                                        

    Você calcula facilmente o desvio padrão de qualquer amostra no Excel usando a função desvpad.A. Mas vamos às contas: veja os cálculos intermediários na tabela dada em seguida.

Cálculos intermediários para obtenção do desvio padrão

    Sistematizando os cálculos para obter o desvio padrão de uma amostra de 5 (ou, mais genericamente, n) medições: 

1.  Some todos os resultados e divida por 5, para obter a média aritmética.

2.  Subtraia a média de todos os resultados, para obter os 5 desvios em relação à média.

3.    Eleve os 5 desvios ao quadrado e some.

4.    Divida essa soma por 5-1=4.

5.    Extraia a raiz quadrada. 

É comum escrever a formula do desvio padrão como segue:

A fórmula (3) parece mais difícil do que a fórmula (2), mas é mais fácil de aplicar para quem usa uma calculadora. Veja os cálculos intermediários na tabela abaixo.

Cálculos intermediários para obtenção do desvio padrão

    Quando se apresenta a fórmula do desvio padrão para uma amostra, sempre surge a pergunta: por que dividir a soma dos quadrados dos desvios por n-1 e não por n? Há demonstrações teóricas de que a correção é necessária, mas há uma explicação intuitiva.

    Se a natureza do experimento permitir uma só medição - por exemplo, imagine que você tomou nas mãos um cronômetro para medir o tempo de queima de uma vela - o resultado obtido é a melhor estimativa para o tempo de queima da vela. E esse valor único é a média. Não há, porém, possibilidade de estimar a dispersão dos desvios da média. Reveja novamente a fórmula para calcular o desvio padrão: se n=1, n-1=0. O divisor zero torna impossível estimar a dispersão dos desvios. O valor n-1 é chamado graus de liberdade.

    O desvio padrão é uma medida da dispersão dos resultados das medições. Para visualizar que o desvio padrão mede a dispersão, é melhor ver um exemplo. Imagine então que dois amigos seus resolveram medir, também, o tempo de oscilação do mesmo pêndulo. O Amigo Nº 1 obteve 

3,7; 3,6; 3,9; 3,5; 3,3

O Amigo Nº 2 obteve 

4,0; 3,5; 3,7; 3,2; 3,6

As médias e os desvios padrões, para os três, você e seus amigos 1 e 2, estão na tabela dada em seguida. Os resultados das medições estão apresentados em gráfico, logo abaixo e permitem melhor visualização da dispersão. Note que quanto maior é a dispersão, maior é o desvio padrão. 

Médias e desvios padrões para as três séries de medições

                   

Distribuição das três séries de medições

A avaliação tipo A da incerteza da medição, que usa o desvio padrão em seu cálculo, será tratada em outra postagem.

NOTA

   1. O exemplo do cronômetro é de Physics Laboratory Tutorial : Error Analysis - Columbia ...

EXERCÍCIOS

1.    Calcule a média e o desvio padrão do resultado de cinco medições de uma peça, que forneceu os seguintes valores, em milímetros:

200,1; 200,5; 200,3; 200,2; 200,4.

2.     Foram enviadas oito amostras de um mesmo produto que continha 10,5% de K₂O para oito laboratórios diferentes. Cada laboratório fez uma determinação da porcentagem de K₂O no produto. Calcule a média e a desvio padrão. As determinações são dadas em seguida.

10,8; 11,2; 10,5; 11,0; 10,9; 11,1; 10,8; 10,7.

3.  Para estabelecer a capacidade de perfuração de uma perfuradora hidráulica em estruturas rochosas, foi feito um experimento. Tomaram-se medidas da profundidade (em polegadas) da perfuração feita em 10 locais. Os dados estão na tabela dada abaixo.  Calcule a média e a desvio padrão.

      Resultados do experimento para medir a capacidade de perfuração de uma perfuradora hidráulica

RESPOSTAS