A incerteza dos resultados das medições medida pelo desvio padrão

Repetir a medição é a melhor maneira de avaliar a incerteza de um resultado, desde que os erros sistemáticos tenham sido minimizados. Sempre que possível, repetimos as medições do mesmo mensurando, nas mesmas condições, várias vezes — ou seja n vezes. Em seguida, aplicamos técnicas estatísticas para estimar a incerteza.

Para entender a lógica dessa avaliação, vamos usar um exemplo clássico: a medição de tempo com um cronômetro. O tempo de reação da pessoa que aciona o cronômetro é aleatório e, de longe, o principal fator de erro na medição do tempo.

Imagine, então, que você está medindo o período de oscilação de um pêndulo. Foram realizadas medições, com os seguintes resultados (em segundos):

                                           3,9;  3,5;  3,7;  3,4;  3,5.

A melhor estimativa para o período de oscilação do pêndulo é a média  desses cinco valores:

Como temos medições repetidas, podemos também estimar os erros de medição, que são aleatórios. Os desvios de cada medida em relação à média são apresentados na tabela abaixo.

Medidas do período de oscilação do pêndulo

e desvios em relação à média

Os resultados mostram dispersão em torno da média, de maneira aleatória. Mas como avaliar o grau de dispersão?

·  A média dos desvios é sempre zero, porque os desvios negativos cancelam os positivos.

Para contornar isso, elevamos os desvios ao quadrado, tornando-os positivos. Em seguida:

·      Calcula-se a média dos quadrados dos desvios;

·      Extrai-se a raiz quadrada dessa média.

Assim, obtemos o desvio padrão.

Contudo, essa fórmula é adequada para populações infinitas. No caso de uma amostra pequena, como a nossa, o desvio padrão é dado por:

O Excel disponibiliza a função DESVPAD.A para este cálculo. A seguir, os cálculos intermediários:

Cálculos intermediários para obtenção do

desvio padrão da amostra

Passos para calcular o desvio padrão de uma amostra

1.   Some todos os resultados e divida por n, obtendo a média.

2.  Subtraia a média de cada resultado.

3.   Eleve cada desvio ao quadrado e some.

4.  Divida essa soma por n -1.

5.   Extraia a raiz quadrada.

Nota sobre o divisor

Imagine um experimento com apenas uma medição. Não é possível calcular a dispersão, pois dividir por zero é impossível. O ajuste corresponde aos graus de liberdade e corrige essa limitação.

Visualizando a relação entre desvio padrão e dispersão

Dois amigos também mediram o tempo do mesmo pêndulo:

·  Amigo 1: 3,7;  3,6;  3,9;  3,5;  3,3

·  Amigo 2: 4,0;  3,5;  3,7;  3,2;  3,6

As médias e desvios padrões estão resumidos na tabela seguinte:

E representados no gráfico:

 O desvio padrão é uma medida da dispersão ou variação dos dados em torno da média. Em contextos de medição, o desvio padrão quantifica a incerteza associada a uma medida, indicando o grau de dispersão dos valores obtidos em diferentes medições de uma mesma grandeza. Quanto menor é o desvio padrão, maior é a precisão das medições.

A incerteza tipo A, que usa o desvio padrão, será tema de outra postagem.

Nota: O exemplo do cronômetro foi adaptado de Physics Laboratory Tutorial: Error Analysis — Columbia University.

Exercícios

1.    Calcule a média e o desvio padrão do resultado de cinco medições de uma peça, que forneceu os seguintes valores, em milímetros:

200,1; 200,5; 200,3; 200,2; 200,4.

 2.     Foram enviadas oito amostras de um mesmo produto que continha 10,5% de K₂O para oito laboratórios diferentes. Cada laboratório fez uma determinação da porcentagem de K₂O no produto. Calcule a média e a desvio padrão. As determinações são dadas em seguida.

                  10,8; 11,2; 10,5; 11,0; 10,9; 11,1; 10,8; 10,7.

 3.  Para estabelecer a capacidade de perfuração de uma perfuradora hidráulica em estruturas rochosas, foi feito um experimento. Tomaram-se medidas da profundidade (em polegadas) da perfuração feita em 10 locais. Os dados estão na tabela dada abaixo.  Calcule a média e a desvio padrão.

                         Resultados do experimento para medir a capacidade de                                                                           perfuração de uma perfuradora hidráulica

Respostas aos exercícios