Progressão Geométrica: Conceitos, Fórmulas e Exercícios

 

📢 Progressão geométrica (PG) é uma sequência de números em que a razão entre um termo e seu antecessor é sempre a mesma. De forma mais simples, é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum.

Por exemplo, as sequências abaixo são progressões geométricas:

🔸      2, 4, 8, 16, ... → Primeiro termo: a = 2, razão: r = 2.

🔸      1, 3, 9, 27, ... → Primeiro termo: a =1 razão: r=3.

Podemos encontrar a razão comum de uma PG dividindo qualquer termo pelo seu antecessor.

A razão pode ser uma fração ou um número negativo. Por exemplo:

🔸     1, ½, ¼, ⅛, ... → a = 1, razão: r = 1/2 ​.

🔸     1, -4, 8, -32, ... → a =1 razão: r=−2.

Quando a razão é negativa, dizemos que a PG é oscilante, pois os termos alternam entre positivos e negativos.

Tipos de Progressão Geométrica

Uma PG pode ser finita ou infinita:

       📢 PG finita: possui um número limitado de termos.

                                Exemplo: 1/2,1/4,1/8, …,1/32768

    📢 PG infinita: contém um número infinito de termos, ou seja, não tem um último termo definido.

                              Exemplo: 3,−6,12,−24, ...

                  📢 Soma dos n termos de uma PG finita

Uma PG com n termos pode ser escrita como segue:

a, ar, ar², ar³, ...,

onde:

·      a é o primeiro termo,

·      r é a razão comum,

·      n é o número de termos.

📢 O n -ésimo termo da PG é dado por:

                  ar ⁽ⁿ⁻¹)

A soma dos n primeiros termos de uma PG finita é obtida somando os termos da sequência:

                        S_n = a + ar + ar² + ar³ +...+ ar^n-1                                               (1)

 

Multiplicamos ambos os lados por r:

 

                            r S_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴ +...+ arⁿ                                          (2)

Subtraindo as equações (1) de (2):

                        S_n - r S_n = a + ar + ar² +...+ ar^n-1 - ar + ar² + ar^{3 +}...+ arⁿ

 

                         S_n (1-r) = a - arⁿ

 

                         S_n (1-r) = a (1 - rⁿ)

📢 Assim, a fórmula da soma de uma PG finita com r ≠ 1 é:

                        S_n = a (1 - rⁿ)/ (1-r)

Podemos também subtrair as equações inversamente, (2) de (1)::

              S_n - r S_n = a + ar + ar² +...+ ar^n-1 - ar + ar² + ar^{3 +}...+ arⁿ

 

                S_n (1-r) = a - arⁿ

 

                S_n (1-r) = a (1 - rⁿ)

📢 o que resulta na mesma fórmula escrita de outra forma:

                        S_n = a (1 - rⁿ)/ (1-r)

Ambas as formas são equivalentes.

                                     

                                          Exemplo 

Dada a PG 4, 8, 16, 32, 64, 128, calcule a soma.​.

                                             S₆ = a (rⁿ  - 1 )/(r-1)

       Temos a = 4; r = 2; n = 6.

                                            S₆ = 4 (64  - 1 )/(2-1)= 252

     Se aplicarmos a fórmula

                                             S₆ = a (1 - rⁿ)/ (1-r)

    Temos, para a = 4; r = 2; n = 6.

                                            S₆ = 4 (1 - 64)/ (1-2) =252

      Como a PG tem poucos elementos, podemos conferir:

                                   S₆ = 4 + 8 + 16 + 32 + 64 +1 28 = 252

                             📢 Progressão Geométrica Infinita

Considere uma PG infinita da forma:

                        a, ar, ar², ar^3, ...

A soma infinita é dada por:

                         S∞ = a + ar + ar² + ar³+ ... ...                        (1)

Multiplicamos ambos os lados por r:

                              rS∞ = ar + ar2 + ar3+ ... ...                                   (2)

Subtraindo a equação (2) da equação (1),

                                S∞ - rS∞ = a

                              S∞ (1 - r) = a

                             S∞ = a / (1 - r)

Essa fórmula é válida apenas quando ∣r∣ < 1 .

Se ∣r∣ ≥ 1, os termos aumentam indefinidamente, tornando impossível determinar a soma.

Exemplo 

Calcule a soma dos termos da PG (7, 14, 28, …, 3584).

O primeiro termo é a₁ = 7, a razão é r = 2.

             O último termo da P.G. é:
                        aⁿ = a₁ . r ^{n – 1}
                       3584 = 7 x 2^{n – 1}
                       3584/7 = 2^{n – 1}
                         512 = 2^{n – 1}
                           2⁹ = 2^{n – 1}
                           n – 1 = 9
                            n = 10

               Para achar a soma:

                     Sn = a₁ (rⁿ – 1) 

                   S₁₀ = 7 (2¹⁰ – 1)

                   S₁₀ = 7 (1024 – 1)
 
                   S₁₀ = 7 x 1023

                    S₁₀ = 7161

                                                📢 Conclusão

A progressão geométrica é um conceito fundamental na matemática e aparece em diversas aplicações, como juros compostos, crescimento populacional e processos físicos. A fórmula da soma permite calcular rapidamente a soma dos termos sem a necessidade de somá-los manualmente.

                                              📢  Exercícios

Exercício 1: O primeiro termo de uma PG é a₁ = 20 e a razão é r =4. Ache o quinto termo a₅.

Solução

Sabemos que

                     aⁿ = ar^n-1

                    a₅ = 20×4⁴ = 20×256 =5120

Exercício 2: A soma dos três primeiros termos de uma PG é 21/2 e o produto é 27. Ache a razão.

Solução

Sejam a/r; a e ar os três primeiros termos da PG. Sabemos que:

                                     (a/r) (a) (ar) = 27

                           Então      a³ = 27

                                           a = 3.

                          A soma dos três primeiros termos é 21/2. Então:

                                    (a / r + a + ar) = 21/2

                                    a (1 / r + 1 + r) = 21/2

                                    (1 / r + 1 + r) = (21/2) /3 = 7/2

                                    (r² + r + 1) = (7/2) r

                                   r² – (5/2) r + 1 = 0

 Resolva a equação de 2º grau. Você acha

                   r = 2

                   r = ½

Exercício 3: Ache uma PG em que a soma dos dois primeiros termos seja -4 e o quinto termo seja igual a quatro vezes o terceiro termo.

Solução

Seja a o primeiro termo e r a razão.

Como a soma dos dois primeiros termos é -4, segue-se que

                                   a + ar = -4

O quinto termo é igual a quatro vezes o terceiro termo.

                                ar⁴ = 4ar²

                                  r² = 4

                                  r = ±2

Se r =2, colocando o valor de r na primeira equação:

                             a (1+2) = -4

                              a = -4/3

                              ar = -8/3

                           ar² = -16/3

                  Então, a P.G é:  -4/3, -8/3, -16/3, …

Exercício 4: De que ordem é o termo 2048 na seguinte P.G. 2, 8, 32, 128, …

Solução

                Temos a = 2 e r = 4 e o n -ésimo termo é aⁿ = ar^n-1.

                             2048 = 2 x (4) ^n-1    

                             1024 = (4) ^n-1

                            (4) 5 = (4) ^n-1

                            n = 6

Exercício 5: Em uma PG, o 6º termo é 24 e o 13º é 3/16. Ache o 20º termo.

Solução

                                Dados a₆ = 24 e a₁₃ = 3/16. Então:

                                               a₆ = a r^6-1

                                          a₁₃ = a r^13-1

                                  Temos o sistema de equações:

                                               a r⁵ = 24

                                        a r¹² = 3/16

                                  Dividindo a segunda equação pela primeira:

                                    

                             Como 128 = 2⁷

                                            r = 1/2

                              Substituindo r = 1/2 na fórmula do 6º termo;

                                   
                      Vamos achar 20º termo:

                                               

Exercício 6: Ache a soma da PG 4 – 12 + 36 – 108 + … até o 10º termo.

Solução

                                Primeiro termo: a = 4

                                 Razão: r = −12/4 = -3.

                                 Soma dos 10 primeiros termos: S₁₀ = a. (rⁿ – 1/r-1)

                                 = 4. ((-3)¹⁰ – 1) / (-3-1)

                                 = – (-3)¹⁰ – 1

                                 = – 59048

 Exercício 7: Temos dois números x e y cuja média aritmética é 25 e cuja média geométrica é 7. Ache os números.

Solução

                     Média Aritmética = MA = (x + y)/2

                                                      25 = (x + y)/2

                                                      x + y = 50                                       (1)

                      Média Geométrica = GM = √(x y)

                                                         7 = √(x y

                                                        7² = x y

                                                        x y = 49                                      (2)

                          Resolvendo o Sistema de equações (1) e (2):

                                                   x = 1 e y = 49.

Exercício 8: Determine a razão r de uma PG com primeiro termo 5 e quarto termo 40.

Solução

                             Primeiro termo, a₁ = 5

                                 Quarto termo, a₄ = 40

                                         a₄/a₁ = 40/5

                                       a₁r³/a₁ = 40/5

                                                r³ = 8

                                                 r = 2

 

Exercício.9: Se o n-ésimo termo de uma PG é 128 e tanto o primeiro termo como a razão são iguais a 2, ache o número de termos da PG.

Solução

 

                             n-ésimo termo da PG, a_n = 128

                              Primeiro termo da PG, a = 2

                                          Razão, r = 2

 

             n-ésimo termo da PG, a_n = = a.r^n-1

                                                128 = 2.2^n-1

                                                  64 = 2^n-1

                                                  2⁶ = 2^n-1

                                               n - 1 = 6

                                                    n = 7

 Exercício 10: Quanto é a soma de uma PG infinita com primeiro termo igual 1 e razão ½?

Solução

A formula da soma de uma PG infinita é:

                                             S = a₁ 1/ (1 – r)

                                             S = 1. 1/ (1-½)

                                             S = 1/(½)

                                             S = 2

 IMPORTANTE: estes exercícios foram traduzido e obtidas soluções mais detalhadas de https://byjus.com/maths/geometric-progression-questions/Acesso em 12 de marco de 2025.