Tabelas 2 x 2: qui-quadrado ou teste exato de Fisher?

                                       

                                                  Análise de Dados Categóricos em Tabelas 2 x 2

Considere os dados apresentados na Tabela 1, que representa uma tabela 2 x 2 com dados categóricos. Temos dois grupos distintos de unidades (por exemplo, pessoas, animais ou objetos), que chamaremos de Grupo A e Grupo B. Em cada grupo, observamos dois tipos de eventos: "sucesso" e "fracasso".

Tabela 1

Distribuição de sucessos e fracassos segundo o grupo

Observa agora o exemplo numérico apresentado na Tabela 1 e na Figura 2, só para tornar a situação mais concreta.

Tabela 2

Sucessos e fracassos por grupo

 

Figura 1

Sucessos e fracassos por grupo

  

Para analisar esses dados, podemos adotar duas abordagens principais, conforme discutido a seguir.

1. Perspectiva Binomial

Nesta abordagem, assumimos que cada grupo tem sua própria probabilidade de sucesso — denotadas por θ₁ e θ₂​. Considera-se que os eventos são independentes dentro de cada grupo. Isso nos leva a modelar os números de sucessos como variáveis aleatórias com distribuições binomiais distintas para cada grupo.

Para testar a hipótese de que as probabilidades são iguais, isto é:

              H₀:θ₁=θ₂,

podemos aplicar o teste qui-quadrado de independência, desde que o tamanho da amostra seja suficientemente grande (regra prática: n ≥ 40), o que assegura uma boa aproximação pela distribuição qui-quadrado.

2. Perspectiva Hipergeométrica

Outra forma de ver o problema surge quando o número total de sucessos está fixado. Neste caso, o que fazemos é redistribuir esses sucessos entre os dois grupos — ou seja, observamos a variabilidade condicional à soma total de sucessos. Esse é o cenário ideal para aplicar a distribuição hipergeométrica. Essa é a base do chamado teste exato de Fisher, que é apropriado quando:

·      O tamanho da amostra é pequeno (n < 40);

·      Os totais marginais são fixos por desenho experimental;

·      Há frequências esperadas menores do que 5 em uma ou mais células (condição que viola os pressupostos do teste qui-quadrado).

Procedimento para o Teste Exato de Fisher

Quando se aplica o teste exato de Fisher, costuma-se apresentar uma tabela como a Tabela 3, seguida de uma fórmula que calcula a probabilidade exata de ocorrência daquela configuração:

Tabela 3

Representação tabular de uma tabela 2 x 2

Embora o cálculo da probabilidade exata envolva fatoriais (notação "!"), o que pode ser demorado manualmente, hoje esse teste é feito exclusivamente por computador. 

Para tornar mais concreto, considere o seguinte exemplo.

Tabela 4

Distribuição dos participantes segundo grupo e sobrevivência
(distribuição hipergeométrica com N1=3, N2=3, n=3)

Neste caso, nenhum estatístico aplicaria um teste qui-quadrado, pois a aproximação pela distribuição normal é inadequada. De qualquer modo, este exemplo é importante porque foi este o exemplo original utilizado por Fisher para ilustrar o teste que leva seu nome.

Ainda, o exemplo é didático, pois uma das células contém valor zero, o que sugere uma associação extrema — todos os participantes de um grupo responderam da mesma forma. Veja a Figura 2.

Figura 2

 Quando isso não ocorre (isto é, todas as células têm valores positivos), é necessário calcular também a probabilidade de ocorrerem desvios ainda mais extremos, sob a hipótese nula. Veja um exemplo com menor associação. O p-valor, pelo teste de Fisher (1), é p-valor = 0,04545<0,05.

Tabela 5

Distribuição dos participantes segundo o fato de terem ou não sido vacinados e terem ou não tido gripe.

Afinal, qual é o teste?

Se considerarmos duas distribuições binomiais, podemos calcular a probabilidade de observar, por exemplo, x₁ sucessos no Grupo A e x₂​ no Grupo B. Aplicamos então o teste de qui-quadrado.

Se o número total de sucessos estiver fixado, ou seja, tivermos x = x₁+x₂​, então a distribuição condicional dos sucessos entre os grupos é hipergeométrica. Neste caso, devemos aplicar o teste exato de Fisher.

Implicações da Abordagem Hipergeométrica

Quando aplicamos o teste exato de Fisher, estamos implicitamente:

·  Fixando os totais marginais da tabela 2 x 2;

·  Fixando o número de sucessos no Grupo A (e, por consequência, todas as outras células, dado que só há um grau de liberdade);

·  Não mais testando diretamente a igualdade dos parâmetros θ1​ e θ2​, como na abordagem binomial.

Nesse contexto, o parâmetro comum θ (sob H0​) passa a ser um parâmetro de distúrbio (nuisance parameter). Ou seja, não estamos interessados no seu valor exato, mas apenas em saber se número de sucessos é estatisticamente o mesmo nos dois grupos.

 Nota: Para aprofundar o entendimento sobre a distribuição hipergeométrica, consulte as três postagens sobre Distribuição Hipergeométrica deste blog. Para explicações sobre o teste exato de Fisher, consulte o Capítulo 3 do livro Bioestatística: tópicos avançados, visto abaixo.

EXERCÍCIOS

📘 Exercício 1: Veja a tabela 2 x 2:

1.     Calcule as proporções de sobrevivência nos dois grupos.

2.     Qual seria sua hipótese de nulidade para o teste qui-quadrado?

3.     A frequência esperada em cada célula é maior do que 5?

4.     Qual teste você aplicaria nesse caso: qui-quadrado ou Fisher?

📘 Exercício 2: Aplicando o teste exato de Fisher

        Veja a tabela:

1.    Por que o teste qui-quadrado não é adequado neste caso?

2.     Use uma calculadora online ou software para aplicar o teste exato de Fisher.

3.     Interprete o p-valor obtido: há evidência de associação entre grupo e sucesso?

📘 Exercício 3: Distribuição hipergeométrica

Em um experimento, há 6 bolas: 3 vermelhas e 3 azuis. Três são sorteadas ao acaso.

1.     Qual a probabilidade de obter exatamente 2 vermelhas no sorteio?

2.     Identifique os parâmetros da distribuição hipergeométrica.

3.  Relacione esse exemplo com o contexto de tabelas 2 x 2 fixando totais marginais.

RESPOSTAS

1. Proporções de sobrevivência

·  Tratamento A: 8/10 = 0,80

·  Tratamento B: 4/10 = 0,40

      2. Hipóteses para o teste qui-quadrado

        H₀​: Não há associação entre tratamento e sobrevivência.

H₁: Há associação entre tratamento e sobrevivência.

3. Frequência esperada em cada célula

Exemplo: Para tratamento A e Sim

As outras esperadas são:

·  A/Não: 4

·  B/Sim: 6

·  B/Não: 4

             4. Que teste deve ser aplicado?

Pode-se aplicar o teste qui-quadrado, pois apenas uma frequência é menor do que 5; os      tamanhos amostrais são adequados e nenhuma célula tem frequência esperada muito baixa. Mas é recomendável aplicar também o teste exato de Fisher. 

📘 Exercício 2: Aplicando o teste exato de Fisher

      1. Por que o qui-quadrado não é adequado?

          As frequências observadas são pequenas (valores menores que 5), o que viola a condição de uso do teste qui-quadrado, que depende da aproximação pela normal.

2. Teste exato de Fisher

 Use um software. O p-valor é aproximadamente 0,2429, não significante.

      3. Interpretação do p-valor

      Como p>0,05, não há evidência estatística suficiente para rejeitar H_0,​ou seja, não podemos afirmar que há associação entre grupo e sucesso.

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✅ Exercício 3: Pensando em distribuição hipergeométrica

1. Probabilidade de obter exatamente 2 vermelhas no sorteio

·  População total N=6

·  Sucessos na população K=3 (vermelhas)

·  Tamanho da amostra n=3

·  Procuramos P(X=2), isto é, 2 vermelhas em 3 sorteios.

A fórmula da hipergeométrica:

Substituindo:

2. Parâmetros:

·  N=6, K=3, n=3, k=2

3. Relação com tabelas 2 x 2

Suponha que vermelha = "sucesso" e azul = "fracasso". São dois grupos (A e B), cada um com 3 bolas. Sortear 3 bolas seria como fixar o total de sucessos (vermelhas) e redistribuí-los entre dois grupos, como se fossem duas linhas da tabela. Esse é exatamente o espírito do teste de Fisher: condicionar os totais marginais e modelar a redistribuição dos sucessos.