ANOVA de Medidas Repetidas: O Erro que Quase Ninguém Percebe

Medidas repetidas

O termo "medidas repetidas" é usado para indicar que as mesmas unidades são submetidas a todas as intervenções (os tratamentos) em um mesmo ensaio. Em outras palavras, um ensaio com medidas repetidas é aquele em que a mesma unidade é medida tantas vezes quantas forem as intervenções (ou tratamentos) em teste.

Exemplo

Em um estudo sobre o efeito de uma droga analgésica em seis participantes, podem ser feitas três medições do alívio da dor com três drogas diferentes (os tratamentos): uma com a droga A, outra com a droga B e outra com a droga C. A variável dependente é o alívio da dor.

Exemplo

Um experimento com quatro degustadores (1, 2, 3, 4) que testam quatro tipos diferentes de café (os tratamentos) é de medidas repetidas porque um mesmo degustador fornece uma classificação para cada tipo de café. A variável dependente é classificação do café.

Exemplo

Um pesquisador quer testar o efeito de três horários (os tratamentos) no tempo de corrida de quatro atletas. O tempo de corrida, medido em cada horário, é a variável dependente.

Como em todo experimento, as variáveis que podem ter efeito sobre a variável dependente devem ser, obrigatoriamente, controladas. No último exemplo, os tratamentos devem ser testados em idênticas condições de temperatura, insolação, hora e tipo de alimentação servido durante todo o dia etc. 

Importante destacar que, quando falamos em unidades, não nos referimos apenas a pessoas. Experimentos com medidas repetidas podem ser conduzidos com plantas, animais, empresas ou objetos.

Pressuposições para a análise de variância (ANOVA) 

com medidas repetidas

As pressuposições para a ANOVA com medidas repetidas (nas mesmas unidades) são as seguintes:

                  1. Normalidade da variável dependente

A variável dependente deve seguir uma distribuição aproximadamente normal para cada nível da variável independente. Essa suposição é mais importante no caso de pequenas amostras. A ANOVA é robusta contra violações de normalidade em amostras grandes (Teorema do Limite Central).

            2. Ausência de valores discrepantes (outliers)

Valores discrepantes podem distorcer os resultados da ANOVA. Devem ser identificados e tratados antes da análise.

           3.  Esfericidade

Se a esfericidade for violada, o teste F da ANOVA pode ser inflacionado, aumentando o erro tipo I, ou seja, aumentando a probabilidade de detectar uma diferença estatisticamente significativa quando, na realidade, ela não existe. Pode ser usado o teste de esfericidade de Mauchly para avaliar essa pressuposição.

4.                        4.  Independência dentro dos sujeitos

As medições dentro de cada unidade experimental devem ser dependentes (porque são medidas repetidas), mas as medições entre diferentes unidades devem ser independentes.

O que é esfericidade?

Definição: Esfericidade é pressuposição fundamental que deve ser satisfeita para justificar uma análise de variância (ANOVA) padrão com dados de experimentos com medidas repetidas.

A esfericidade ocorre quando as variâncias das diferenças entre todas as combinações possíveis de pares de intervenções (tratamentos ou grupos) são estatisticamente iguais.

Justificativa: Para realizar uma análise de variância (ANOVA), é necessário garantir a homogeneidade das variâncias das intervenções (tratamentos ou grupos). O teste de Levene (2) é um método usado para verificar essa homogeneidade, quando o experimento é inteiramente ao acaso. Se as variâncias são homogêneas (homocedasticia), pode ser feita uma análise de variância unifatorial.

Em análises de experimentos com medidas repetidas na mesma unidade experimental (pessoa, animal, planta, objeto, empresa), é preciso testar a esfericidade, pois sua violação aumenta a probabilidade de erro tipo I, ou seja, aumenta a probabilidade de detectar uma diferença estatisticamente significante quando, na realidade, ela não existe. Se as variâncias são homogêneas (homocedasticia), pode ser feita uma análise de variância com dois fatores, isto é, tratamentos e unidades. A análise de variância com dois fatores também é conhecida como análise de experimentos em blocos (cada unidade, seja pessoa, animal, planta, objeto ou empresa) constitui um bloco.

Teste de Esfericidade de Mauchly

O teste de Mauchly é um procedimento estatístico usado para verificar a hipótese de esfericidade. No entanto, pode falhar em detectar desvios da esfericidade quando a amostra é muito pequena ou muito grande. Mesmo assim, é amplamente utilizado. Se a hipótese de esfericidade for atendida, a estatística F da ANOVA será válida. Caso contrário, a estatística F terá viés e a probabilidade de erro tipo I será aumentada.

 Quando as variâncias são muito diferentes (por exemplo, 13,9 vs. 17,4 vs. 3,1), é possível que tenha ocorrido uma violação da esfericidade. Para confirmar, é preciso aplicar o teste de esfericidade de Mauchly. Se o teste indicar um resultado estatisticamente significante, rejeita-se a hipótese de esfericidade, ou seja, a conclusão é a de que as variâncias das diferenças entre os grupos não são estatisticamente iguais. Para corrigir esse problema, podem ser aplicadas algumas correções, como as de Greenhouse-Geisser ou Huynh-Feldt.

Procedimento: Imagine que um pesquisador quer testar o efeito de três tipos de treinamento físico A, B e C (A = esteira, B = ar livre, C = intervalado)) no tempo de corrida de cinco atletas. O tempo de corrida, medido em cada horário, é a variável dependente. Os dados (fictícios) estão na Tabela 1.

Tabela 1

Tempo de corrida, em minutos, de cinco atletas

segundo o tipo de treinamento

  

1.         Estabelecer as hipóteses:

·  H₀: A matriz de covariância segue a propriedade de esfericidade (as variâncias das diferenças são estatisticamente iguais.

·  H₁: As variâncias são significativamente diferentes.

2.       Cálculo da estatística do teste: a estatística de teste é dada por:

onde:

·  S é a matriz de covariâncias das diferenças entre intervenções (tratamentos),

·  g é o número de graus de liberdade de tratamentos (neste caso, 3−1=2),

·  det (S) é o determinante da matriz de covariância.

3.        Conversão para o teste de qui-quadrado: o valor W é transformado em uma estatística qui-quadrado usando a seguinte fórmula:

onde N é o número de participantes.

 

4.        Comparação com a distribuição qui-quadrado: Se o p-valor for menor que 0,05, rejeitamos H₀ nesse nível de significância.

Cálculo da esfericidade para os dados da Tabela 1

1.      Calcule as diferenças entre cada par de tipo de treinamento dos dados apresentados na Tabela 1. Essas diferenças estão  apresentadas na Tabela 2. Calcule as médias e variâncias dessas diferenças. 

                                               Tabela 2

                    Diferenças entre pares de tratamentos

Para garantir que a pressuposição de esfericidade é atendida, é preciso que as variâncias das diferenças entre os pares de tratamentos sejam estatisticamente iguais.

Temos as variâncias das diferenças entre tratamentos na Tabela 2. Precisamos obter as covariâncias:

A covariância entre as variáveis $= B-A$e $= C-A$ não é simplesmente o produto das diferenças, como (B-$$A) × (C−A). Veja o passo a passo dos cálculos para obter as covariâncias.

· Calcule a média de cada variável ($),$), (C-A), (B-C). $\mathrm{<strong><span\; style="font-family:\; "Georgia",serif;\; font-weight:\; normal;\; mso-bidi-font-family:\; "Times\; New\; Roman";\; mso-bidi-theme-font:\; minor-bidi;">Essas\; médias\; estão\; na\; Tabela\; 2.\; Verifique:\; para\; (B-A),\; -0,260,\; para\; (C-A),0,310\; e\; para\; (C-B),\; 0,570.</span><strong><span\; style="font-family:\; "Georgia",serif;\; font-weight:\; normal;\; mso-bidi-font-family:\; "Times\; New\; Roman";\; mso-bidi-theme-font:\; minor-bidi;"><o:p> </o:p></span></strong></strong>}$

·      Subtraia a média de cada valor individual das varáveis. Por exemplo, X= (B-A) e Y= C-A), para cada X_i​, calcule

          Para cada Y_i​, calcule

·      Multiplique essas diferenças ponto a ponto para cada participante:

         

·        Some esses produtos.

 

·        Divida por n-1.

$$

Veja o resultado desses cálculos nas Tabelas 3, 4 e 5.

Tabela 3

Cálculos para obter as covariâncias de (B-A) (C-A)

                                                                   

Nota: (B-A)bar significa  média da variável (B-A). A mesma notação aparece nas demais tabelas.

Tabela 4

Cálculos para obter as covariâncias de (B-A) (C-B)

Tabela 5

Cálculos para obter as covariâncias de (C-A) (C-B)

             Das Tabelas 3, 4 e 5 podemos obter:

                                                     Cov(B-A)(C-A)=0,0160/9 =0,001778

                                                     Cov(B-A)(C-B)=0,0480/9=0,00533

                                                     Cov(C-A)(C-B)=0,0730/9=0,008111

              A matriz de covariâncias, que chamaremos de S, está apresentada na Tabela 6.

                                 Tabela 6

                       Matriz S de covariâncias

  Agora que você tem a matriz S, calcule a estatística de Mauchly:

                                                    

 O determinante de S (3) é −1,165×10⁻²² (um valor muito pequeno, próximo de zero).

 O traço da matriz é dada pela soma dos elementos da diagonal principal:

                                      tr(S)=0,007111+0,009889+0,013444 =0,030444

       O valor de W resultou em um valor negativo, -5,03×10^-19, o que não é válido. Fica                        impossível calcular o logaritmo para obter a estatística qui-quadrado. Isso indica

       uma violação extrema da esfericidade ou possíveis problemas numéricos na matriz de                 covariância (não acho que seja o caso neste exemplo).

Conclusão

O teste de esfericidade de Mauchly foi conduzido para avaliar se a pressuposição de esfericidade foi satisfeita. No entanto, o determinante da matriz de covariância foi próximo de zero, resultando em um valor negativo para a estatística $W$. Isso impossibilitou o cálculo da estatística qui-quadrado. Esse resultado sugere uma violação severa da esfericidade, tornando a suposição inadequada para a ANOVA de medidas repetidas.

Dado esse cenário, recomenda-se o uso de correções para esfericidade, como o ajuste Greenhouse-Geisser ou Huynh-Feldt, ou ainda considerar abordagens alternativas, como modelos de efeitos mistos, que não exigem a suposição de esfericidade.

Justificativa para o resultado:

1.    As variâncias das diferenças entre condições são muito diferentes:

o  Var(B−A) = 0,00711

o  Var (C−A) = 0,01111

o  Var(C−B )= 0,02711

Se a esfericidade fosse atendida, essas variâncias deveriam ser aproximadamente iguais.

2.   O determinante da matriz de covariância é muito próximo de zero (−1.165×10⁻²²), o que indica multicolinearidade extrema e forte violação da esfericidade. 

3.   O teste de Mauchly não pôde ser concluído porque W ficou negativo, impossibilitando o cálculo de χ2. 

4.   A vantagem de o exemplo não ter chegado à estatística de Mauchly é deixar claro que isso acontece. Rejeite H₀.

Veja:

1.Field, A. Descobrindo a Estatística usando o SPSS.2 ed. Porto Alegre: Artmed,2009.

2.Sphericity. Disponível em: https://statistics.laerd.com/statistical-guides/sphericity -statistical-guide.php. Acesso em 24 de março de 2020.

3.Frost, J. Repeated measures designs: benefits and an ANOVA Example. Disponível em: https://statisticsbyjim.com/anova/repeated-measures-designs-benefits-anova-example/Acesso em 23 de março de 2020.

4. Zaiontz, C. Sphericity: Basic concepts. https://real-statistics.com/anova-repeated-measures/sphericity/

5.Sphericity and ANOVA. https://stattrek.com/anova/repeated-measures/sphericity#google