Crescimento Exponencial: O que isso significa na prática e na matemática?

 

No dia a dia, quando falamos que algo cresce exponencialmente, queremos dizer que esse algo está aumentando muito rápido. É uma maneira de dizer que algo está se multiplicando em ritmo acelerado, como quando um vídeo viraliza na internet ou quando uma população de coelhos se espalha sem controle.

Mas, na matemática, crescimento exponencial tem um significado mais preciso. Vamos entender isso melhor. Mas antes de falar de crescimento exponencial, vamos lembrar da função linear, que é mais conhecida e usada no dia a dia.

A Função Linear

A função linear tem a forma:

onde:

·  Y  é a variável independente,

·   X é a variável dependente, 

 ·  alfa e  beta são constantes.

 O gráfico dessa função é sempre uma reta. O valor de alfa indica onde a reta cruza o eixo

 vertical (conhecido como intercepto). Já beta determina a inclinação da reta.

Propriedades

1.    Se beta é maior que zero, a reta cresce indefinidamente. Se beta é menor que zero, a reta decresce. Se beta igual a zero, a reta é paralela ao eixo X.

2.    Se alfa é maior que zero, a reta corta o eixo Y acima da origem; se  alfa é menor que zero, a reta corta o eixo Y a abaixo da origem; se alfa é igual a zero, a reta passa pela origem.

A Função Exponencial

         Diferente da função linear, a função exponencial dá lugar a uma curva. Ela é definida por

       A variável dependente aparece no expoente, daí o nome função exponencial. Essa função nunca assume valores negativos; está sempre acima do eixo dos X. 

                                                             Propriedades

 1.    a é sempre diferente de zero.

 2.    Se b = 0, o gráfico dá lugar a uma reta horizontal, Y = a.

 3.    Se o valor de b estiver entre zero e 1, ou seja, se 0 < b < 1, a exponencial é estritamente decrescente. Isso significa que, se X aumenta, a função tende a zero.

4.    Se o valor de b for maior do que 1, ou seja, se b > 1, a exponencial é estritamente crescente: se X cresce, Y tende para infinito.

          5. O gráfico passa pelo ponto (0,1).

Como exemplo, veja duas funções exponenciais apresentadas em gráfico, uma crescente, outra decrescente.

                              Gráficos de função exponencial

Exemplo de Crescimento Exponencial: As Bactérias

Em condições ideais, uma bactéria patogênica tem a capacidade de se multiplicar a um ritmo alarmante: dividem-se a cada 15 minutos. Isso significa que se você começar com uma bactéria, depois de algumas horas terá milhares.

O crescimento das bactérias pode ser apresentado em gráfico, colocando tempo no eixo X e número de bactérias no eixo Y. Na Tabela 1 estão os dados para a construção do Gráfico 1.

Tabela 1

 Número de bactérias a cada 15 minutos

Gráfico 1

Número de bactérias a cada 15 minutos

            O gráfico desse crescimento forma uma curva que sobe cada vez mais rápido. Essa é a essência         do crescimento exponencial.

Mas calma! Se fosse assim para sempre, o mundo estaria coberto de bactérias em poucas horas. O que acontece é que, com o tempo, o espaço, os nutrientes e o oxigênio se tornam limitados. O crescimento desacelera e, em vez de seguir uma curva exponencial para sempre, a população de bactérias começa a seguir um modelo chamado crescimento logístico. (Veja mais sobre isso na postagem "Função Logística".)

O crescimento exponencial ocorre quando uma população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho. Esse tipo de crescimento é mais comum quando há recursos abundantes e poucos predadores ou competidores, mas não dura para sempre, pois fatores como falta de alimento, predadores e doenças acabam limitando a população. Alguns exemplos de animais que podem apresentar crescimento exponencial em determinadas condições são:

1. Bactérias – Bactérias como Escherichia coli podem dobrar seu número em minutos sob condições ideais.
2. Coelhos – Sem predadores e com comida abundante, coelhos podem se reproduzir rapidamente e causar explosões populacionais.
3. Ratos – Em ambientes urbanos, ratos podem se multiplicar exponencialmente se houver alimento e abrigo suficientes.
4. Gafanhotos – Algumas espécies podem formar enxames gigantescos quando encontram condições favoráveis, como no caso das pragas de gafanhotos.
5. Pombos – Em cidades com abundância de alimentos, pombos podem crescer rapidamente em número.
6. Peixes-leão – Essa espécie invasora tem se multiplicado rapidamente no Atlântico devido à ausência de predadores naturais.
7. Insetos como mosquitos – Sob temperaturas ideais e sem controle, mosquitos podem se multiplicar rapidamente.
8. Corais invasores – Algumas espécies de corais invasores podem crescer exponencialmente, competindo com os corais nativos.

O crescimento de uma população pequena com muitos recursos é exponencial. No entanto, se os recursos são limitados, a taxa de crescimento começa a diminuir em algum momento. Essa população só poderá alcançar tamanho compatível com a quantidade de recursos e com o ambiente de que dispõe. Chega, portanto, a um nível de saturação e a função exponencial não mais representa o crescimento populacional. Precisamos recorrer às funções assintótico-sigmoides.