Momentos: em relação à origem e em relação à média

📌 Definição de momento

O momento de uma variável aleatória é o valor esperado de uma potência dessa variável.

Se a variável for discreta, o momento de ordem n é dado por:

                    

Se a variável for contínua, o momento de ordem n é dado por:

                                  

Nesta postagem, trataremos das variáveis aleatórias discretas. Há dois tipos principais de momentos:

1.     Momento em relação à origem

2.     Momento centrado em uma constante k

               📌 Momentos importantes

O primeiro momento em relação à origem é a média da distribuição: 

O primeiro momento em relação à média é sempre zero: 

O segundo momento em relação à média é a variância da distribuição: 

O terceiro momento em relação à média permite calcular o coeficiente de assimetria.

O quarto momento em relação à média permite calcular o coeficiente de curtose.

                                       Exemplo 1

A variável aleatória X tem a seguinte função de probabilidade, conforme mostrado na Tabela 1. Determine E[X] e E[X−E[X]]

Tabela 1

Distribuição de probabilidade de X 

                          E[X] =(-1)x0,2+0x1,3+1x0,5= 0,3

E[X−E[X]] =[(-1-0,3)x0,2+(0-0,3)x0,3 +(1-0,3)x0,5]=0

✅ Solução: A média é 0,3 e o primeiro momento em relação a média é sempre zero.

                                        Exemplo 2

Um ensaio de Bernoulli gera uma distribuição de probabilidades discreta, onde apenas dois resultados são possíveis. Um exemplo clássico é o lançamento de uma moeda. Os possíveis resultados, cara e coroa, podem ser representados por uma variável aleatória X, onde X=0 para "coroa" e X=1 para "cara". Ambos os eventos ocorrem com probabilidade 0,5. Determine E[X] e E[(X−E[X])2].

 Tabela 2

Distribuição de probabilidade de X 

✅ Solução: A média é 3,5 e a variância é 0,25.

                                  Exemplo 3

O número de pontos obtidos ao lançar um dado uma única vez constitui uma variável aleatória discreta. A Tabela 2 apresenta a     distribuição da variável. Determine os seguintes momentos:

             O primeiro momento em relação à origem

             O primeiro momento em relação à média

             O segundo momento em relação à média

             O terceiro momento em relação à média

             O quarto momento em relação à média

Tabela 2

 Distribuição da variável aleatória X

X	P(X)
1	1/6
2	1/6
3	1/6
4	1/6
5	1/6
6	1/6

 

                                           ✅ Solução

                      1º Momento em relação à origem

                                   E[X]=3,5

                      1º Momento em relação à média   

                                  E[X−E[X]] = 0

                      2º Momento em relação à média 

                                    E[(X−E[X])2]=2,9167

                     3º Momento em relação à média 

                            E[(X−E[X])3]= 0

                      4º Momento em relação à média 

                                     E[(X−E[X])4]=14,7292