Covid-19: Número efetivo de reprodução

•  Por Sonia Vieira
 
• 24 de set. de 2020
 
•          

O número básico de reprodução, erradamente referido como taxa básica de contágio, que se indica por R0 (lê-se R-zero), é o número médio de pessoas infectadas por um único indivíduo infectado introduzido em uma população completamente suscetível. O cálculo de R0 é feito por meio de modelos matemáticos.

A primeira estimativa do número básico de reprodução R0 para a Covid-19 foi feita com os dados de 425 casos ocorridos no início do surto na cidade de Wuhan, China, em janeiro de 2020.1 Os cálculos indicaram que um indivíduo infectado introduzido em uma população completamente suscetível é capaz de infectar, em média, 2,2 pessoas (IC 95%: 1,4-3,7). Já um relatório do Imperial College de Londres, publicado em 25 de janeiro de 2020,2 mostrou dados da China para informar que R0 é, em média, 2,6, com uma amplitude de incerteza entre 1,5 a 3,5. 

Por sua vez, um trabalho publicado pelos Centros de Controle e Prevenção de Doenças (CDC) dos Estados Unidos da América,3 com dados de 140 casos confirmados de Covid-19 ocorridos em janeiro de 2020 na China, quase todos fora da província de Hubei onde se localiza a cidade de Wuhan, em que se iniciou o surto, trouxe uma estimativa de 5,7 (IC: 3,8-8,9) para a mediana de R0.

De qualquer forma, a leitura exaustiva de muitos trabalhos indica ser razoável considerar, por ora, que para a Covid-19, R0 varia entre 2 e 3, ou seja, estima-se que um indivíduo infectado introduzido em uma população completamente suscetível, mesmo que assintomático, é capaz de contagiar de 2 a 3 pessoas. Mas é importante entender que R0 é apenas um indicador da capacidade de transmissão de uma doença – não mede a severidade nem a velocidade com que o patógeno se espalha. No entanto, o valor de R0 é muito útil porque permite avaliação rápida da situação:

 

• Se R0< 1: cada infecção existente causa menos do que uma nova infecção. A doença diminuirá e eventualmente desaparecerá
• Se R0= 1: cada infecção existente causa uma nova infecção. A doença permanecerá viva e estável, mas não haverá um surto ou uma epidemia
• Se R0> 1: cada infecção existente causa mais de uma nova infecção. A doença será transmitida entre as pessoas e pode haver um surto ou epidemia. 

 

Embora o número básico de reprodução seja referência no início de uma epidemia – e os dados obtidos na China em janeiro de 2020 já apontassem para uma epidemia –, é necessário substituí-lo por outro indicador que avalie o potencial de transmissão da doença ao longo do tempo. Afinal, uma pessoa que tenha a doença e se recupere deve adquirir alguma imunidade; logo, a população deixa de ser composta apenas por suscetíveis. Deve-se então estimar o número efetivo de reprodução.

Por definição, número efetivo de reprodução,  que se indica por R ou Rt (lê-se R-t), é o número médio de pessoas infectadas em determinado momento t por um indivíduo infectado introduzido em uma população parcialmente imune. O número efetivo de reprodução é, muitas vezes, erradamente referido como taxa de contágio

É claro que R0 e Rt estão relacionados. Fazendo s indicar a proporção da população suscetível de contrair a doença no instante t, tem-se que:

Veja um exemplo. Vamos tomar R0 = 2. Se em certo instante t, a proporção de suscetíveis for 70%, então s = 0,7. Nesse instante t, 

 

  A interpretação do valor calculado de Rt é fácil:

• Rt > 1: o número de casos da doença está aumentando. Epidemia 
• Rt  = 1: cada infectado causa uma nova infecção. Endemia
• Rt < 1: de um caso. A doença diminuirá e eventualmente acabará.

 

Em relação à Covid-19, qual é o Rt para o Brasil? Fatores biológicos, sociocomportamentais e ambientais, ou seja, tanto o tempo quanto o espaço afetam a disseminação do SARS-CoV-2, o que explica, em parte, a grande variação das estimativas de Rt. No entanto, a variação entre as estimativas também se explica pelos diferentes modelos matemáticos utilizados e pelas pressuposições feitas, as quais, até certo ponto, são subjetivas – e dependem da exatidão dos dados.

 Ainda sobre o Brasil, as causas de divergência entre os dados referentes à Covid-19 se devem à baixa testagem da população, à subnotificação, à dificuldade de obter informação de sistemas de saúde sobrecarregados, às divergências de critérios e à dubiedade das políticas de saúde.

Mesmo assim, no início de maio de 2020, o Imperial College de Londres, que levanta estatísticas da disseminação da Covid-19 para muitos países, considerou o Brasil epicentro da Covid-19 no mundo.4 Estimou o número efetivo de reprodução da doença para os estados do Brasil e encontrou valores abaixo das estimativas iniciais, isto é, menores do que 2, mas maiores do que 1, indicando que o número de casos da doença continuaria aumentando.

 No entanto, estimativas de Rt para os diferentes estados do Brasil feitas a 25 de julho5 indicam maior variação: há valores muito altos (1,95) para alguns estados, por exemplo Goiás, mas menores (0,73) em outros, como no Amapá. De qualquer modo, o interesse de empresas farmacêuticas em fazer testes de vacinas no Brasil evidencia o feeling dos pesquisadores de que nosso país, tal como África do Sul, Índia e Estados Unidos da América, tem grande incidência da Covid-19.

De fato, o Brasil enfrenta uma epidemia que continua a se espalhar e a crescer. Há uma busca intensa de tratamentos, mas nada ainda se revelou realmente eficiente. Diversas vacinas já estão em fase III de teste, mas dificilmente estarão disponíveis para a vacinação em massa da população antes de meados de 2021. 

A contenção da comunidade está sendo feita de forma muito hesitante, o que explica a baixa adesão da população – principalmente a mais pobre, que precisa trabalhar para “ganhar o pão de cada dia” e não tem a percepção do risco da doença. Ninguém sabe o que acontecerá no futuro, mas há uma certeza: tudo isso será debatido por anos. 

 

Referências

1. Qun, Li et alii. Early transmission dynamics in Wuhan, China, of novel coronavirus-infected pneumonia. New Eng. J. Med. 382:1199-1207. 2020. doi: 10.1056.
   
   
2. Imai, N. et alii.  Report 3: Transmissibility of 2019-nCoV. Imperial College London.COVID-19 Response Team.5th January 2020 DOI: https://doi.org/10.25561/77148
   
   
3. Sanche, S. et alii. High contagiousness and rapid spread of severe acute respiratory syndrome coronavirus 2. Emerg Infect Dis. 26: 7.July 2020 https://doi.org/10.3201/eid2607.200282
   
   
4. Mellan, T. et alii.  Report 21: Estimating COVID-19 cases and reproduction number in Brazil Imperial College COVID-19 Response Team. 8thMay 2020 DOI: https://doi.org/10.25561/78872.
   
   
5. Perone, C.S. COVID-19: Time varying reproduction numbers estimation for Brazil. 25/July. https://perone.github.io/covid19analysis/brazil_r0.html

Médias móveis: cálculo

Imagine uma série temporal como, por exemplo, o número de óbitos por dia devido à COVID-19. Sejam y_t os valores da variável em análise. A média móvel simples de k termos é obtida somando k termos consecutivos da série e dividindo o resultado por k. Então, dada a série de valores y_t  onde t = 1, 2, ..., n, as médias móveis simples de k termos ou, como também se diz, as médias móveis simples de ordem k  dessa série são dadas por:

Exemplo

Você quer calcular médias móveis de 3 termos da série 24, 25, 28, 29, 30. Então, calcule a média dos três primeiros termos (24, 25, 28), que será a primeira média móvel (25,67). Depois, descarte o primeiro termo usado para calcular essa primeira média móvel e calcule a média dos três seguintes (25, 28, 29), que será a segunda média móvel (27,33). Descarte o primeiro termo usado para calcular essa segunda média móvel e calcule a média dos três seguintes (28, 29,30), que será a última da série (29,00).

Você agora resolveu calcular médias móveis de 4 termos. O procedimento é o mesmo, lembrando apenas que cada média é calculada com quatro termos.

 

As médias móveis podem ser alocadas junto ao último número dos k números com que foi calculada. No exemplo, você calculou médias móveis de ordem k = 3. Então você escreveu a primeira média móvel (25,67) junto ao terceiro número (28) dos k = 3 números com que foi calculada. A segunda média móvel (27,33) você escreveu junto ao quarto valor da série, ou seja, junto ao terceiro número dos k = 3 números com que foi calculada (29) e assim fez com a terceira média móvel.

No entanto, as médias móveis são, em geral, centralizadas, isto é, são colocadas no centro do intervalo de valores usados para seu cálculo. Para apresentar médias móveis centralizadas, é importante saber se o número k de termos da média móvel é par ou ímpar.

Se a média móvel simples for de ordem ímpar, isto é, se cada média móvel for calculada com k = 2m + 1 termos, em que m é um número positivo, fica fácil centralizar as médias móveis. Por exemplo, para k = 3, a primeira média móvel, calculada com os três primeiros termos da série, é colocada junto ao segundo valor da série, porque o centro de 1º, 2º e 3º fica no segundo termo. A segunda média móvel é colocada junto ao terceiro valor da série, porque o centro de 2º, 3º e 4º fica no terceiro termo e assim por diante.

                                                   Exemplo

São dados os primeiros termos de uma série temporal: 24, 25, 28, 29, 30. Ache as médias móveis simples de 3 termos e as centralize. Como você já calculou as médias móveis de 3 termos no exemplo anterior, vamos apenas escrever as médias móveis centralizadas.

Note que não podem ser obtidos os valores da média móvel para o primeiro e o último período. Os valores que faltam são indicados por asterisco (*).

São bastante comuns médias móveis com número ímpar de termos como 3, 5, 7, etc. porque, nesses casos, os valores de média móvel ocupam posições centrais no tempo. Há observações de ambos os lados de cada média móvel, que fica no meio.  Há simetria. 

Não veremos nesta postagem o cálculo de médias móveis com número par de termos, isto é, com k = 2m termos, em que m é um número positivo. Isso será assunto de outra postagem. Mas vamos ver aqui por meio de um exemplo o fato de que, quanto maior for o valor de k, mais suavizada será a curva.

É dado o número de carros vendidos por mês em cidade. Ache as médias móveis de ordem 3, de ordem 5, de ordem 7. Veja que, com as médias móveis de ordem 7, a curva é mais suave.

MÉDIA MÓVEL

Denomina-se série temporal ao conjunto de observações de uma variável ao longo do tempo. São exemplos de série temporal: dados meteorológicos de uma cidade coletados diariamente, vendas mensais de um produto em determinado hipermercado ao longo de anos, gráficos de controle diários de um processo produtivo em uma empresa no mês, dados demográficos de um país em vários censos. 

A suposição básica no estudo das séries temporais é a de que o tempo é um fator que modifica os valores da variável de interesse. Para observar o efeito do tempo em uma série temporal, desenha-se um gráfico de linhas, também chamado gráfico de série temporal. Os dados observados referem-se à variável dependente, variável resposta ou desfecho e o tempo é a variável independente, variável explanatória ou fator. 

Veja os dados apresentados na Tabela 1 e na Figura 1. No gráfico, os pontos consecutivos ligados por linhas ajudam a visualizar as mudanças da variável no período em estudo. Assim, a Figura 1 mostra, nitidamente, o crescimento da população brasileira entre 1940 e 2010. Nesse período, a população mais do que quadruplicou.

Tabela 1 - População residente no Brasil, segundo o ano do Censo Demográfico

Figura 1 - População residente no Brasil, segundo o ano do Censo Demográfico

Nem sempre, porém, se observam gráficos de séries temporais com um padrão tão facilmente visível de tendência, como o visto acima. É clássico buscar quatro padrões de variação nas séries temporais:

·      Tendência, que é o comportamento de longo prazo da série, como é o caso de crescimento demográfico, mostrado na Figura 1.

·      Variação cíclica, ou seja, flutuação nos valores da variável que ocorre com certa periodicidade, mas em períodos longos, acima de um ano; é o caso das mudanças no estado médio da atmosfera (como as causadas por variações na atividade solar).

·      Variação sazonal, que é a flutuação nos valores da variável com duração menor do que um ano, mas se repetem geralmente em função das estações do ano.

·      Variação irregular, causada por  fatos fortuitos e inesperados como, por exemplo, catástrofes naturais.

Os componentes citados não estão sempre presentes em uma série temporal. Veja alguns exemplos.

·         A série da Figura 1 apresenta apenas tendência, isto é, comportamento crescente no longo prazo (sete décadas).

·         A série da Figura 2 apresenta apenas variações irregulares, mas de processo sob controle, isto é, pontos dentro dos limites de controle (LSC e LIC.).

Figura 2 - Gráfico de controle típico

Fonte: Vieira, S. Estatística para a Qualidade. 3 ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 20114

·         A série da Figura 3 apresenta tendência, variação sazonal e variações irregulares: o comportamento de longo prazo da série é pouco crescente, há variação sazonal (meses chuvosos e meses de seca), mas há flutuações irregulares dentro dos períodos de um ano, em todos os anos.

Figura 3 - Alturas pluviométricas anuais, em mm

 

Fonte: Gasparetto, S. C. Comparação entre métodos de imputação de dados em diferentes intensidades amostrais na série homogênea de precipitação pluvial da ESALQ. https://teses.usp.br/teses/disponiveis/11/11134/tde-23082019-150302/publico/

·         A série da Figura 4 apresenta flutuações sazonais e variações irregulares; pequena tendência de queda.

Figura 4 – Preços, em reais, da saca de 60kg de milho no Estado de São Paulo, 2012-2014

Fonte: Souza, C.C et alii. Análise do padrão sazonal e da variação dos preços do milho aos produtores do estado de São Paulo, Brasil. Rev. de Ciências Agrárias vol.40 no.2  Lisboa jun. 2017. http://dx.doi.org/10.19084/RCA16110 

A análise de séries temporais deve identificar padrões de variação da variável de interesse. A observação do comportamento passado ajuda previsões para o futuro, facilitando a tomada de decisões. Uma das maneiras de estudar a tendência de uma série temporal é por meio de médias móveis, que reduzem o impacto de picos e quedas acentuados. Elas servem para "suavizar" dados cronológicos ou, em outras palavras, promovem o “alisamento” para que a curva de tendência fique mais visível.

Médias móveis

Vamos ver aqui como se calculam médias móveis. Imagine uma série temporal como, por exemplo, o número de óbitos por dia devido à COVID-19. Sejam y_t os valores da variável. A média móvel simples de k termos é obtida somando k termos consecutivos da série e dividindo o resultado por k. Então, dada a série de valores y_t  em que t = 1, 2, ..., n, as médias móveis dessa série são dados por:

Como exemplo para aprender a calcular uma média móvel simples, veja os seguintes dados, que se referem aos dias de uma semana:

 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17. 

Vamos calcular médias móveis de cinco termos (k =5). A primeira média móvel abrange os primeiros cinco dias. A segunda média móvel descarta o primeiro dia (11) e adiciona um novo dado da sequência (16). A terceira média móvel continua descartando o primeiro dado da média móvel anterior (12) e adicionando o novo dado (17).

No exemplo acima, os dados aumentam gradualmente de 11 para 17 em um total de sete dias. As médias móveis simples aumentam de 13 para 15. 

As médias móveis simples serão indicadas por MMi.  Para indicar que calculamos uma média móvel de ordem k, escrevemos k-MM.

Veja outro exemplo. Com os dados da série temporal apresentada em seguida, calcule as médias móveis simples de três termos. Faça o gráfico.

25, 85, 65, 45, 95, 75, 15, 35

Cálculo de 3-MM

MM₃ = (25+85+65)/3 = 58,33

MM₄ = (85+65+45)/3 = 65,00

MM₅ = (65+45+95)/3 = 68,33

MM₆ = (45+95+75)/3 = 71,67

MM₇ = (95+75+15)/3 = 61,67

MM₈ = (75 +15+35)/3 = 41,67

                             Gráfico 3-MM

ESCALA DE LIKERT

                            

Mensuração (ou medição) é o processo de observar e registrar as observações coletadas como parte de um projeto de pesquisa. Nem tudo, porém, pode ser medido diretamente. Conceitos como religiosidade, preconceito, felicidade e outros resumem um fenômeno complexo. Todos nós entendemos que existem indicadores que, por suposição ou convenção, dão medidas desses conceitos, mas que não  são medidas definitivas.

   Os pesquisadores que se propõem a medir conceitos enfrentam dilemas. Considere, como exemplo, o conceito de satisfação no trabalho. É um conceito abstrato, pois satisfação não é facilmente medida ou observável.  Então como pode ser estudada a satisfação no trabalho? De alguma forma, é preciso convencer pessoas a descrever, com a maior precisão possível, o quanto elas estão satisfeitas (ou insatisfeitas) no trabalho. Para conseguir isso, há várias abordagens. Sem grandes pormenores, podemos dizer que a pesquisa pode ser qualitativa ou quantitativa. 

Um método de pesquisa qualitativa seria a pesquisa em profundidade. Nesse caso, o pesquisador busca aleatoriamente algumas pessoas de um mesmo ambiente de trabalho para ouvi-las e depois analisar os discursos, ou seja, as falas coloquiais dos pesquisados.  Nesta postagem, porém, vamos nos ater à técnica da pesquisa quantitativa, por questionários, que permite análise estatística convencional.

Na ideia de questionário está implícita a construção de muitas perguntas. É claro que não se pergunta a uma pessoa apenas se ela gosta de trabalhar para medir satisfação no trabalho,  ou se ela vai à igreja com frequência para medir religiosidade, se a opção de resposta for "Sim" ou "Não". Você precisa fazer várias perguntas e dar um valor numérico a cada resposta, como zero ou um. Depois, precisa somar os valores obtidos para obter um só número, ou seja, uma “nota” para cada respondente.

A redução de um conceito “rico em significado” – como como dizem os especialistas – a um só número, ou seja, a uma “nota” é superficial e, portanto, insatisfatória, mas é o que se pode fazer. É a maneira empírica que muito se usa para medir conceitos. Mas não se chega a uma medida definitiva, inequívoca e completamente aceitável de um conceito. Já foram propostos vários questionários e outros serão propostos para medir diferentes conceitos.

                                            Escalas 

 Para maior precisão na forma de medir conceitos, usam-se respostas escalonadas.  Você precisa, então, construir uma escala para as respostas, que não terão apenas opções de resposta como "Sim" e "Não". É difícil construir uma escala para medir conceitos porque a variedade de abordagens é muito ampla. De qualquer forma, para construir uma escala você faz um conjunto de questões e estuda como combinar as respostas para obter um único valor, que será a medida do conceito que você está estudando. As várias respostas de um respondente são, então, apresentadas como um número.

As escalas diferem entre si no método de construção, mas duas pressuposições - embora não tenham qualquer justificativa - são comuns a todas elas:

                     ·       Os conceitos podem ser medidos quantitativamente (por um número).

·  Perguntas e declarações têm o mesmo significado para todos os respondentes.

Vamos tratar neste blog, em várias postagens, como construir escalas para medir conceitos. As mais usadas são:

construir escalas para medir conceitos. As mais usadas são:

§  Escala de Likert ou do somatório dos escores

§  Escala de Bogardus ou da distância social

§  Escala de Gutman ou escala cumulativa

§  Escala de Thurstone ou das distâncias iguais

 

Escala de Likert ou das somas dos escores

Item de Likert é uma declaração, que se apresenta ao respondente do questionário, para que ele diga em que medida concorda com a declaração apresentada.

Escala de Likert é uma série de itens de Likert, todos com o mesmo número de alternativas, organizada para medir um conceito.

Exemplo de item de Likert

A aula foi excelente.

o   Concordo plenamente.

o   Concordo.

o   Nem concordo, nem discordo.

o   Discordo.

o   Discordo plenamente.

 

Exemplo de escala de Likert

 

Veja uma escala com dez itens de Likert, todos com quatro opções de resposta, construída para medir o grau de autoestima de uma pessoa em relação ao trabalho

QUESTIONÁRIO

INSTRUÇÃO: Por favor, faça um X para indicar sua opção de resposta.

 

 

           São atribuídos escores a cada tipo de opção:

§ Discordo completamente: escore zero.

§ Discordo um pouco: escore 1.

§ Concordo um pouco: escore 2.

§ Concordo plenamente: escore 3.

Usando essa escala, o grau de autoestima de uma pessoa em relação ao trabalho varia de zero (se assinalar discordo totalmente nos dez itens) a 30 (se assinalar concordo plenamente nos dez itens).

                         Como construir a escala de Likert

1º passo: Escreva uma série de itens (ou declarações) que, em sua opinião, podem dar a medida do conceito. Convide, se possível, mais pessoas para auxiliar você na tarefa de escrever os itens (ou declarações). É desejável criar tantos itens quanto possível e depois escolher, entre eles, os melhores.

                                                     Exemplo

Imagine que você é o diretor de uma escola e quer saber se a aula da nova professora tem a qualidade que a instituição exige. Com sua equipe, formada por professores e alunos, organize itens para avaliar a aula. Pense em 20 ou 30 itens, mas por razões de espaço, apresentamos apenas sete:

·         A aula foi excelente.

·         A professora tem boa didática.

·         A professora conhece a matéria.

·         A professora é acessível.

·         A professora é bem humorada.

·         A professora apresentou bom material de aula.

·         A professora é simpática.

2º passo: É preciso avaliar a capacidade de cada item para medir qualidade da aula. Convide várias pessoas (outras, que não as que o ajudaram a construir os itens) para julgar os itens propostos. Essas pessoas são os “juízes”. Veja bem: os juízes não são chamados para dar opinião sobre a qualidade da aula, mas para dizer quão bem cada item avalia o conceito.

Exemplo

Imagine que os juízes escolheram os seguintes itens como bons para avaliar a qualidade da aula:

§   A aula foi excelente.

§   A professora tem boa didática.

§   A professora conhece a matéria.

§   A professora é acessível.

§   A professora apresentou bom material de aula.

 

3º passo: Determine quantos itens comporão o questionário.

                                                               Exemplo

Você é o diretor da escola e resolveu fazer o questionário com quatro itens, para aumentar o número de respondentes. Escolheu os seguintes:

·           A aula foi excelente.

·           A professora tem boa didática.

·           A professora conhece a matéria.

·           A professora apresentou bom material de aula.

 

4º passo: Estabeleça quantas opções de resposta serão dadas a cada item.

                                                    Exemplo

O aluno que assistiu à aula deve ter impressão – positiva ou negativa - sobre essa aula e não deve, portanto, ficar “em cima do muro”. Você então estabelece quatro opções de resposta: 

o    Discordo completamente

o    Discordo um pouco

o    Concordo um pouco

o    Concordo plenamente

 

5º passo: Atribua escores a cada alternativa de resposta.

                                                    Exemplo 

Você pode achar razoável atribuir escores como segue:

§ Discordo completamente: escore zero.

§ Discordo um pouco: escore 1.

§ Concordo um pouco: escore 2.

§ Concordo plenamente: escore 3.

  6º passo: Construa o questionário.

                                                                      Exemplo 

                  Você pode desenhar o questionário como segue:

7º passo: Aplique o questionário, recolha as respostas e calcule o escore total, dado pela soma dos escores.

                                                                Exemplo

 Você pode receber um questionário respondido como segue: 

  Neste exemplo, o somatório dos escores é:

1 + 2 + 3 + 1 = 6.

Como, na escala de Likert todos os itens têm as mesmas categorias de respostas, alguns pesquisadores preferem apresentar o questionário com números – e não com palavras. Facilita a análise, mas pode dificultar a resposta. Mas é preciso dar ao respondente o significado de cada número. A pergunta “De zero a dez, que nota você dá a professora?” é descabida. A nota “7” pode significar “boa aula” para um aluno e “aula regular” para outro. Aliás, a pergunta não está usando a escala de Likert.

Exemplo

Veja o questionário dado em seguida, em que se pede para atribuir uma nota. Parece mais difícil responder com números do que com palavras.   

                                           

Empresas que servem a um grande público e que podem ter respostas por escrito, usam emojes.  

 A escala de Likert é, provavelmente, a escala mais usada para medir conceitos. 

É sempre recomendável:

 

§  Usar no máximo sete opções de resposta para cada item.

§  Usar de preferência palavras como opção de resposta.

§  Usar cinco ou sete pontos se quiser ter um ponto neutro.

§  Usar quatro ou seis pontos de se quiser forçar o respondente a mostrar uma posição positiva ou negativa em relação à declaração apresentada.