Sonia Vieira

📢 Progressão geométrica (PG) é uma sequência de números em que a razão entre um termo e seu antecessor é sempre a mesma. De forma mais simples, é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum.

Por exemplo, as sequências abaixo são progressões geométricas:

🔸 2, 4, 8, 16, ... → Primeiro termo: a = 2, razão: r = 2.

🔸 1, 3, 9, 27, ... → Primeiro termo: a =1 razão: r=3.

Podemos encontrar a razão comum de uma PG dividindo qualquer termo pelo seu antecessor.

A razão pode ser uma fração ou um número negativo. Por exemplo:

🔸 1, ½, ¼, ⅛, ... → a = 1, razão: r = 1/2 .

🔸 1, -4, 8, -32, ... → a =1 razão: r=−2.

Quando a razão é negativa, dizemos que a PG é oscilante, pois os termos alternam entre positivos e negativos.

Tipos de Progressão Geométrica

Uma PG pode ser finita ou infinita:

📢 PG finita: possui um número limitado de termos.

Exemplo: 1/2,1/4,1/8, …,1/32768

📢 PG infinita: contém um número infinito de termos, ou seja, não tem um último termo definido.

Exemplo: 3,−6,12,−24, ...

📢 Soma dos n termos de uma PG finita

Uma PG com n termos pode ser escrita como segue:

a, ar, ar², ar³, ...,

onde:

· a é o primeiro termo,

· r é a razão comum,

· n é o número de termos.

📢 O n -ésimo termo da PG é dado por:

ar ⁽ⁿ⁻¹)

A soma dos n primeiros termos de uma PG finita é obtida somando os termos da sequência:

S_n = a + ar + ar²+ ar³+...+ ar^n-1(1)

Multiplicamos ambos os lados por r:

r S_n = ar + ar² + ar³+ ar⁴+...+ arⁿ(2)

Subtraindo as equações (1) de (2):

S_n - r S_n = a + ar + ar²+...+ ar^n-1 - ar + ar² + ar^{3 +}...+ arⁿ

S_n (1-r) = a - arⁿ

S_n (1-r) = a (1 - rⁿ)

📢 Assim, a fórmula da soma de uma PG finita com r ≠ 1 é:

S_n = a (1 - rⁿ)/ (1-r)

Podemos também subtrair as equações inversamente, (2) de (1)::

S_n - r S_n = a + ar + ar²+...+ ar^n-1 - ar + ar² + ar^{3 +}...+ arⁿ

S_n (1-r) = a - arⁿ

S_n (1-r) = a (1 - rⁿ)

📢 o que resulta na mesma fórmula escrita de outra forma:

S_n = a (1 - rⁿ)/ (1-r)

Ambas as formas são equivalentes.

Exemplo

Dada a PG 4, 8, 16, 32, 64, 128, calcule a soma..

S₆ = a (rⁿ- 1 )/(r-1)

Temos a = 4; r = 2; n = 6.

S₆ = 4 (64- 1 )/(2-1)= 252

Se aplicarmos a fórmula

S₆ = a (1 - rⁿ)/ (1-r)

Temos, para a = 4; r = 2; n = 6.

S₆= 4 (1 - 64)/ (1-2) =252

Como a PG tem poucos elementos, podemos conferir:

S₆= 4 + 8 + 16 + 32 + 64 +1 28 = 252

📢 Progressão Geométrica Infinita

Considere uma PG infinita da forma:

a, ar, ar², ar^3, ...

A soma infinita é dada por:

S∞ = a + ar + ar² + ar³+ ... ... (1)

Multiplicamos ambos os lados por r:

                              rS∞ = ar + ar² + ar³+ ... ...                                   (2)

Subtraindo a equação (2) da equação (1),

                                S∞ - rS∞ = a

                              S∞ (1 - r) = a

                             S∞ = a / (1 - r)

Essa fórmula é válida apenas quando ∣r∣ < 1 .

Se ∣r∣ ≥ 1, os termos aumentam indefinidamente, tornando impossível determinar a soma.

Exemplo

Calcule a soma dos termos da PG (7, 14, 28, …, 3584).

O primeiro termo é a₁ = 7, a razão é r = 2.

             O último termo da P.G. é:
                        aⁿ = a₁ . r ⁿ^{– 1}
                       3584 = 7 x 2ⁿ^{– 1}
                       3584/7 = 2^{n – 1}
                        512 = 2ⁿ^{– 1}
                           2⁹ = 2ⁿ^{– 1}
                          n – 1 = 9
                            n = 10

Para achar a soma:

                     Sn = a₁ (rⁿ – 1)

                   S₁₀ = 7 (2¹⁰ – 1)

                   S₁₀ = 7 (1024 – 1)

                   S₁₀ = 7 x 1023

                    S₁₀ = 7161

📢 Conclusão

A progressão geométrica é um conceito fundamental na matemática e aparece em diversas aplicações, como juros compostos, crescimento populacional e processos físicos. A fórmula da soma permite calcular rapidamente a soma dos termos sem a necessidade de somá-los manualmente.

📢 Exercícios

Exercício 1: O primeiro termo de uma PG é a₁ = 20 e a razão é r =4. Ache o quinto termo a₅.

Solução

Sabemos que

aⁿ = arⁿ^-1

a₅ = 20×4⁴= 20×256 =5120

Exercício 2: A soma dos três primeiros termos de uma PG é 21/2 e o produto é 27. Ache a razão.

Solução

Sejam a/r; a e ar os três primeiros termos da PG. Sabemos que:

(a/r) (a) (ar) = 27

Então a³ = 27

a = 3.

A soma dos três primeiros termos é 21/2. Então:

(a / r + a + ar) = 21/2

a (1 / r + 1 + r) = 21/2

(1 / r + 1 + r) = (21/2) /3 = 7/2

(r² + r + 1) = (7/2) r

r² – (5/2) r + 1 = 0

Resolva a equação de 2º grau. Você acha

r = 2

r = ½

Exercício 3: Ache uma PG em que a soma dos dois primeiros termos seja -4 e o quinto termo seja igual a quatro vezes o terceiro termo.

Solução

Seja a o primeiro termo e r a razão.

Como a soma dos dois primeiros termos é -4, segue-se que

a + ar = -4

O quinto termo é igual a quatro vezes o terceiro termo.

ar⁴ = 4ar²

r² = 4

r = ±2

Se r =2, colocando o valor de r na primeira equação:

a (1+2) = -4

a = -4/3

ar = -8/3

ar² = -16/3

Então, a P.G é: -4/3, -8/3, -16/3, …

Exercício 4: De que ordem é o termo 2048 na seguinte P.G. 2, 8, 32, 128, …

Solução

Temos a = 2 e r = 4 e o n -ésimo termo é aⁿ = arⁿ^-1.

2048 = 2 x (4) ^n-1

1024 = (4) ^n-1

(4) 5 = (4) ^n-1

n = 6

Exercício 5: Em uma PG, o 6º termo é 24 e o 13º é 3/16. Ache o 20º termo.

Solução

Dados a₆= 24 e a₁₃ = 3/16. Então:

a₆ = a r^6-1

a₁₃ = a r^13-1

Temos o sistema de equações:

a r⁵= 24

a r¹²= 3/16

Dividindo a segunda equação pela primeira:

Como 128 = 2⁷

r = 1/2

Substituindo r = 1/2 na fórmula do 6º termo;

Vamos achar 20º termo:

Exercício 6: Ache a soma da PG 4 – 12 + 36 – 108 + … até o 10º termo.

Solução

Primeiro termo: a = 4

Razão: r = −12/4 = -3.

Soma dos 10 primeiros termos: S₁₀ = a. (rⁿ – 1/r-1)

= 4. ((-3)¹⁰ – 1) / (-3-1)

= – (-3)¹⁰ – 1

= – 59048

Exercício 7: Temos dois números x e y cuja média aritmética é 25 e cuja média geométrica é 7. Ache os números.

Solução

Média Aritmética = MA = (x + y)/2

25 = (x + y)/2

x + y = 50 (1)

Média Geométrica = GM = √(x y)

7 = √(x y

7² = x y

x y = 49 (2)

Resolvendo o Sistema de equações (1) e (2):

x = 1 e y = 49.

Exercício 8: Determine a razão r de uma PG com primeiro termo 5 e quarto termo 40.

Solução

Primeiro termo, a₁= 5

Quarto termo, a₄ = 40

a₄/a₁ = 40/5

a₁r³/a₁ = 40/5

r³ = 8

r = 2

Exercício.9: Se o n-ésimo termo de uma PG é 128 e tanto o primeiro termo como a razão são iguais a 2, ache o número de termos da PG.

Solução

n-ésimo termo da PG, a_n = 128

Primeiro termo da PG, a = 2

Razão, r = 2

n-ésimo termo da PG, a_n = = a.r^n-1

128 = 2.2ⁿ^-1

64 = 2ⁿ^-1

2⁶ = 2^n-1

n - 1 = 6

n = 7

Exercício 10: Quanto é a soma de uma PG infinita com primeiro termo igual 1 e razão ½?

Solução

A formula da soma de uma PG infinita é:

S = a₁ 1/ (1 – r)

S = 1. 1/ (1-½)

S = 1/(½)

S = 2

IMPORTANTE: estes exercícios foram traduzido e obtidas soluções mais detalhadas de https://byjus.com/maths/geometric-progression-questions/Acesso em 12 de marco de 2025.

Sonia Vieira

Wednesday, March 12, 2025

Progressão Geométrica: Conceitos, Fórmulas e Exercícios