Matriz identidade
A matriz
identidade é uma matriz quadrada, isto é, tem igual número de linhas e
colunas. A diagonal principal é constituída apenas por números 1. Os demais
elementos são todos iguais a zero.
A matriz identidade pode ter dimensões 2 × 2, ou 3
× 3, ou 4 × 4, etc ... É indicada pela letra maiúscula I.
Exemplo
Veja
uma matriz identidade 3 x 3:
A
matriz identidade “equivale” ao número 1. Se você multiplica uma dada matriz M por uma matriz identidade, obtém M como produto. Se multiplica a matriz
identidade por uma matriz M, também obtém
M como produto.
Para
o que serve uma matriz identidade? Em postagens anteriores, você viu como se
faz a soma, a subtração e a multiplicação de matrizes. Mas a divisão?
Na
verdade, dadas duas matrizes, A e B, tecnicamente não se faz divisão de A
por B, mas a multiplicação de A pela inversa de B. Indica-se a inversa da matriz B
por B-1. Então,
nunca escreva A÷B, mas sim A x B-1.
Matriz inversa
B-1 é a inversa da matriz B somente se o produto de B por
B-1, igual ao produto de B-1 por B, for uma matriz identidade
Há
matrizes que não tem inversa. Elas são chamadas de matrizes singulares. Mas a questão agora é: como se acha a inversa
de uma matriz? É trabalhoso, mas felizmente inventaram computadores! De
qualquer modo, vamos inverter uma matriz 2 x 2.
É
dada a matriz
Para
achar a matriz inversa M-1:
1. Troque
as posições de a e d.
2. Troque os sinais de b e c, mas os mantenha
nas mesmas posições.
3. Calcule o determinante de M.
4. Divida a matriz obtida em
1 e 2 pelo determinante de M.
Exemplo
https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-inverse.html
Ache
a matriz inversa de
É
preciso calcular:
Você
pode verificar se achou a inversa de M?
É preciso calcular:
Muito
bom: está aí a matriz identidade, para provar que a inversão da matriz foi
correta. Mas M-1 é a inversa da matriz M somente se
Calcule,
então:
Importante:
você
só pode inverter matrizes quadradas, com determinante diferente de zero.
Mas
você ainda pode estar pensando: para que tanta complicação? Dadas duas matrizes
A e B, não posso, mesmo, dividir A por B? Não, não pode. Mas pode multiplicar a
matriz A pelo inverso da matriz B, desde que B seja não singular. Na prática, é
a mesma coisa.
Veja
um exemplo. Temos duas matrizes, A e B, conhecidas, e queremos obter a matriz
X, que desconhecemos. Sabemos que
XA
= B
Não
podemos dividir ambos os membros da equação por A porque já sabemos que essa operação não é possível. Mas podemos
escrever:
XAA-1
= BA-1
Sabemos que
AA-1=I
Então
XI=
BA-1
Como
XI=X
X=
BA-1
“Dividindo”
matrizes
Tecnicamente, não se faz
uma divisão de matrizes. A operação
equivalente da “divisão” de uma matriz A por uma matriz B é a multiplicação de A pela inversa de
B.
Você aceita isso
facilmente quando se trata de escalares. Por exemplo, se você tem 10 laranjas
para distribuir igualmente entre dois meninos, que operação você faz para obter
o resultado? Uma divisão, evidentemente:
10
÷ 2 = 5
Mas se você multiplicar dez
pelo inverso de cinco, obterá o mesmo (e correto) resultado:
10
x ½
= 5
Ainda, se multiplicar o
inverso de 2 por dez, obtém o mesmo cinco. No entanto, você não pode trabalhar
com matrizes pensando que pode aplicar a elas os procedimentos que usa com
escalares. Vamos por partes.
1. A x B-1
não é igual a B-1 x A.
Exemplo
Dadas as matrizes
para “dividir”A por B obter o produto A x B-1, é preciso calcular B-1. Essa matriz foi obtida
anteriormente. Reveja, mas
São aqui calculados os
produtos A x
B-1 e B-1 x A.
Compare os resultados.
2. Se você quer “dividir” a matriz A pela matriz B, a matriz B precisa ser
não-singular, isto é, tem de
ser possível obter a inversa de B.
Portanto, B deve ser uma matriz quadrada com determinante diferente
de zero.
3. Lembre-se de que para
multiplicar matrizes, é preciso que elas tenham dimensões m x n e n x p, isto é:
No
exemplo, são duas matrizes quadradas 2 x 2. Neste caso, a ordem em que se faz a
multiplicação pôde ser mudada, mas, como você viu, mudaram os resultados.
