Equações Lineares simultâneas: regra de Cramer

 

Uma das utilizações mais relevantes das matrizes é na resolução de sistemas de equações lineares. A matemática envolvida na álgebra das matrizes é bastante trabalhosa, mas a utilização de um software estatístico torna esse processo não apenas muito mais rápido como também mais preciso nas respostas. De qualquer forma, apresentaremos aqui alguns exemplos que você deve resolver com papel e lápis. Isso  contribuirá para a compreensão do processo e facilitará a interpretação dos resultados . 

Escrevendo equações na forma de matrizes

Considere as equações simultâneas

 Elas podem ser escritas na forma de matriz:

1. A primeira matriz é 2 x 2. Denominada A, é a matriz dos coeficientes 

2. A segunda matriz é um vetor coluna de ordem 2 x 1, em que os elementos são as incógnitas. É denominada X.

3.A terceira matriz também é um vetor coluna de ordem 2 x 1, em que os elementos são os termos conhecidos. É denominada Y. 

 O sistema de equações lineares simultâneas pode ser escrito como AX=Y. A resolução desse tipo de sistema  pode ser feita usando a inversa da matriz A, desde que A seja invertível (determinante de A diferente de zero. A solução é dada por:

                                              X = A⁻¹B

        A Regra de Cramer é uma alternativa que evita o cálculo explícito da matriz inversa, o     que é especialmente útil para sistemas pequenos (como 2×2 , 3×3 ou mesmo 4 x 4).

                                                              Regra de Cramer

      Duas equações com duas incógnitas

Vamos começar resolvendo um sistema de duas equações com duas incógnitas, x₁ e x₂. 

É dado o sistema de equações lineares:

A matriz A deve ser obrigatoriamente diferente de zero. Ache o determinante de A.

Substitua a primeira coluna da matriz A pelos termos conhecidos do sistema de equações. Será a matriz D₁.

 Calcule o determinante de D₁.

                                         

Substitua a segunda coluna da matriz A pelos termos conhecidos do sistema de equações.        Será a  matriz D₂. Calcule o determinante de D₂.

                           

        Ache as incógnitas:

 Exemplo

Resolva o sistema de equações usando a regra de Cramer.

Solução:

    Três equações com três incógnitas

Procedimento similar ao que foi seguido para resolver um sistema de duas          equações com duas incógnitas pode ser usado para resolver um sistema de três equações com três incógnitas, usando a regra de Cramer. Seja o sistema de equações:

                                 
O determinante da matriz dos coeficientes é, necessariamente, diferente de zero.

     As outras três matrizes são: 

                                                                            

                                                                           

     A solução do sistema de equações é

                                                                                                    Exemplo

Usando a regra de Cramer, ache a solução de:

Primeiro, vamos achar o determinante dos coeficientes:

Podemos agora achar os determinantes dos numeradores das frações, uma vez que D≠0.

A solução desse sistema de equações é dada por

         Quatro equações com quatro incógnitas

Para achar a solução para um sistema de quatro equações com quatro incógnitas usando a regra de Cramer, o procedimento é similar ao que foi seguido para resolver um sistema de duas equações com duas incógnitas. Então, vamos direto para um exemplo.

                                                            Exemplo

Usando a regra de Cramer, ache a solução de:

Vamos calcular o determinante dos coeficientes das incógnitas:

           

           A solução é (1, 2, -3, -1).