Determinantes: teoria que talvez você queira conhecer

   

 Para trabalhar com matrizes quadradas, ajuda conhecer as propriedades dos determinantes, porque assim o trabalho se torna mais fácil. Detenha-se na propriedade e no exemplo. As provas você vê quando tiver tempo. Ainda, note que as propriedades estão ordenadas como 1ª, 2ª, 3ª etc.. Não há qualquer sentido teórico nessa ordenação. É apenas para melhorar a diagramação.

        Propriedades

1ª propriedade

 

     O sinal do determinante de uma matriz muda se você trocar duas linhas (ou duas colunas) de lugar: o determinante passa de positivo para negativo, ou de negativo para positivo.

 

Exemplo

         É dada a matriz

               Troque de lugar a primeira com a terceira linha:

       Então:

Observação: Dada uma matriz M, se forem feitas p permutações de linhas (ou de colunas), o determinante da nova matriz será igual a +M ou –M, dependendo do número de permutações p ser par ou ímpar.

 

2ª propriedade

 

    Se você multiplicar todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) do determinante por uma constante k, o determinante fica multiplicado por essa constante k.

                                                         Exemplo

    É dada a matriz:

    O determinante é:

    Multiplicando a terceira linha por 4, obtemos a matriz B’:

    Logo:

3ª propriedade

 

    Se todos os elementos de uma linha (ou uma coluna) de uma matriz forem iguais a zero, o determinante será igual a zero.

                                                                  Exemplo

 

   Dada a matriz B, verifique que o determinante é zero.

4ª propriedade

Se duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz são iguais, seu determinante é zero.

                                                            Exemplo

 

É dada uma matriz com duas linhas iguais: a primeira e terceira. Vamos verificar que o determinante é zero.

5ª propriedade

    Se duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz são proporcionais, o determinante é nulo.

                                                             Exemplo

     Note que a terceira coluna da mátria A dada em seguida é o triplo da primeira coluna.

                                   

   Você pode reescrever A como segue:

    Lembrando a 2ª propriedade e colocando 1/3 em evidência, vem:

6ª propriedade

 

    Se todos os elementos abaixo (ou acima) da diagonal principal de uma matriz forem iguais a zero, o determinante será igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

 

Exemplo

 

   Dadas as matrizes A e B, verifique que ambas são iguais aos produtos das diagonais principais.

7ª propriedade

 

   O determinante de uma matriz quadrada M não se altera se as linhas forem ordenadamente trocadas com as colunas ou,

   O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante de sua transposta.

                                                                Exemplo

    Dada a matriz 

Teorema: Cada termo do desenvolvimento de um determinante contém um e um só elemento de cada fila.

Por definição:

Os primeiros índices são fixos, obtidos da diagonal principal. Portanto, em cada termo do desenvolvimento do determinante existe um e somente um elemento de cada linha. Os segundos índices são permutações, sem repetição, de 1, 2, 3,…, n. Logo, cada termo do desenvolvimento do determinante tem nos segundos índices um número de 1 a n, sem repetição. Consequentemente, em cada termo do desenvolvimento do determinante aparece um e somente um elemento de cada linha.

Exemplo 6

Veja que cada termo dessa fórmula contem somente um elemento de cada linha.

1. Corolário Se multiplicar ou dividir os elementos de uma fila de um determinante D por um fator k arbitrário, você obtém um determinante D’ igual ao determinante D multiplicado ou dividido por esse fator.

D’= k D

Seja o determinante:

Se você multiplicar a r-ésima linha por k, obtém:

A constante aparecerá uma e uma só vez em todos os termos de D’. Então:

Donde:

                                                        D’= k D

Exemplo

Seja o determinante:

Multiplicando a terceira linha por 4, vem:

Logo:

2. Corolário Todo determinante que tem uma fila de elementos nulos é igual a zero.

Seja o determinante:

Se os elementos da r-ésima fila forem todos iguais a zero, todos os termos do desenvolvimento de D terão um fator nulo.

Exemplo

Seja o determinante: