Além do F: comparações certeiras com o teste de Scheffé

Feita a análise de variância, se o valor do teste F for significante — ou seja, se rejeitarmos a hipótese de que todas as médias são iguais —, é possível aplicar o teste de Scheffé para comparar contrastes de médias. Antes, porém, é fundamental entender o que é um contraste.

O que é um contraste de médias?

De maneira simples, um contraste de médias é uma combinação linear de médias de grupos, em que a soma algébrica dos coeficientes é igual a zero.

Por exemplo, suponha que o pesquisador deseje comparar três médias de grupos. A s expressão:

                     

é um contraste de médias porque:

                 ·        É uma função linear de médias;

                  ·        A soma dos coeficientes é 1+1−2 = 0.

Substituindo os parâmetros (μi) pelas respectivas estimativas, obtemos a estimativa do contraste de médias:

                    

E a variância do contraste?

Em uma análise de variância, a variância dos resíduos é estimada pelo quadrado médio do resíduo (QMR). Se os grupos têm o mesmo número de repetições (r), a variância da estimativa do contraste é dada por:                                                                                              

  Como aplicar o teste de Scheffé?

Para verificar se um contraste de médias é estatisticamente significante a um dado nível , o teste de Scheffé utiliza a seguinte expressão crítica:

Onde:

                        ·        k é o número de grupos;

                 ·    F_crítico é o valor da tabela F, com k−1 graus de liberdade no numerador e os graus de liberdade do resíduo​ no denominador;

                      ·        Var(L) é a variância estimada do contraste.

Se o valor absoluto do contraste L for maior que S, o contraste é considerado estatisticamente significante.

Exemplo Aplicado

Considere os dados da Tabela 1, analisados por ANOVA (Tabela 2). O valor de F é significante no nível de 5%, indicando que pelo menos uma média difere das demais. As médias dos grupos estão na Tabela 3.

Tabela 1. Dados observados, segundo o grupo

                        

Tabela 2. Análise de variância

Tabela 3. Médias segundo o grupo

Vamos testar a hipótese de que as respostas dos grupos tratados são, em média, maiores que a do grupo controle, utilizando o teste de Scheffé.

1.     Cálculo do contraste de médias

2.     Cálculo da variância do contraste

3.     Valor crítico de F

Com 5 graus de liberdade para grupos e 24 graus de liberdade no resíduo é 2,62.

Valor crítico de Scheffé

Como o valor absoluto do contraste calculado  L = 71 é maior que o valor crítico S, concluímos que os grupos tratados apresentam, em média, respostas significativamente maiores que o grupo controle.