O conhecimento do mundo em que vivemos é obtido por meio de experimentos e medições. Mas já sabemos que não é possível obter resultados exatos quando medimos. Também sabemos que é preciso minimizar erros e indicar o grau de incerteza dos resultados das medições. Para que as medidas tenham significado, devemos escrever:
X ± ΔX,
em que X é nossa melhor estimativa da medida e ΔX é a incerteza associada ao resultado.
Ficamos assim conscientes de que, se fizermos novas medições, é bastante provável que os novos valores caiam no intervalo X ± ΔX.
Não há como zerar os erros das medições. No entanto,
a distribuição dos erros tem uma aparência típica. Conta a história que os
assistentes de Gauss, o grande matemático e astrônomo do século XIX, estavam
tomando algumas medidas, mas não eram capazes de obter o mesmo esultado, em
medições repetidas. Gauss ficou muito zangado e começou a gritar, dizendo que
iria mostrar àquela gente que quem sabe medir obtém repetidamente o mesmo
valor, todas as vezes. Só que ele não conseguiu fazer isso.
Mas Gauss era gênio. Desenhou um histograma e
percebeu que o desenho tinha o aspecto de uma curva muito conhecida, a “curva
do sino”, que depois passou a ser conhecida como a lei gaussiana dos erros. Os
estatísticos em geral se referem à “curva do sino” como distribuição normal,
mas os físicos preferem a denominação distribuição de Gauss. Vamos então
entender a distribuição normal, por meio de um exemplo.
EXEMPLO
Com um cronômetro na mão para medir o período de
oscilação de um pêndulo, você faz n = 20 medições. Os resultados estão na
tabela dada em seguida.
Leituras do período de oscilação
de um pêndulo, em segundos
A média aritmética das 20 medidas é: 
A média aritmética das n = 20 medidas é a melhor estimativa para o período de oscilação. Os desvios da média, apresentados na tabela abaixo, estimam os erros de medida.
Desvios da média das leituras do período de oscilação de um pêndulo, em segundos
Os desvios da média estão organizados em uma tabela
de frequências.
Tabela de
distribuição de frequências
Histograma para os desvios da média das leituras
O que mostra o exemplo? Que desvios ocorrem ao
acaso, às vezes maiores, às vezes menores, às vezes positivos, às vezes
negativos, mas distribuídos em torno da média aritmética. O grau de dispersão
dos desvios em torno da média é dado pelo desvio padrão amostral.
Toda distribuição de frequências é construída com os
dados de uma amostra. À medida que aumentamos a amostra, os histogramas que
exibem os resultados de erros aleatórios nas medições começam a se assemelhar à
distribuição normal, uma distribuição teórica cuja configuração é dada na
figura que segue.
Apresentação
gráfica da distribuição
normal
Vamos estudar um pouco mais a distribuição normal,
que tem características bem conhecidas:
·
Graficamente, é uma curva em forma de sino.
·
A média, a mediana e a moda coincidem e estão no
centro da distribuição.
·
A curva é simétrica em torno da média. Logo, 50%
dos valores são iguais ou maiores que a média e 50% iguais ou menores.
·
A curva abriga 100% da população, ou seja, a
área total sob a curva é 1.
A distribuição normal é definida por dois
parâmetros:
·
μ (mi): média
·
σ (sigma): desvio padrão
Quando mudamos μ e/ou σ, a configuração da curva muda. Veja a figura abaixo com distribuições normais de mesma média e diferentes desvios padrões.
Apresentação gráfica de distribuições normais:
mesma média, diferentes desvios padrão
Embora nenhuma distribuição real seja perfeitamente normal, muitas se aproximam. Reveja o histograma que desenhamos. Não parece razoável considerar que se as medições fossem repetidas muitas e muitas vezes, teríamos um histograma com aspecto muito similar ao da “curva do sino”? Observe a figura que é dada em seguida.
Histograma (com normal) para os desvios da média das leituras
Na prática: se você tem muitas
medições de um mesmo mensurando, é bem provável que a média aritmética esteja
perto da medida real e os erros distribuam-se normalmente.
Notas:
1. O
uso da distribuição normal para avaliar incerteza é comum, mas há críticas. Veja por exemplo: Hulme e Symms,
The Law of Error and the Combination of Observations. Royal
Astronomical Society.
2. Veja
a avaliação tipo A de incerteza em outra postagem deste mesmo blog.
Referências:
1. ISO
International Organization for Standardization
2.
Physics
Laboratory Tutorial: Error Analysis - Columbia
3. http://reference.wolfram.com/applications/eda/ExperimentalErrorsAndErrorAnalysis.html
4. http://physics.wustl.edu/introphys/Phys117_118/Lab_Manual/Tutorials/ErrorAnalysisTutorial.pdf
5.
http://teacher.nsrl.rochester.edu/phylabs/AppendixB/AppendixB.html
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