Incerteza absoluta e incerteza relativa

A precisão da medição de uma variável continua depende da resolução do instrumento de medida. Essa resolução é definida pela menor distância que pode fazer um valor mudar. Se a graduação for muito baixa, pode dar medidas iguais para o mesmo objeto.

Por exemplo, os resultados da medição do diâmetro de um lápis com uma régua graduada em centímetros, provavelmente terão precisão zero, porque as medidas serão todas iguais entre si. No entanto, se o instrumento de medida for um paquímetro graduado em décimos de milímetros, a precisão será maior.

Quando nos deparamos com o resultado de uma única medição, para avaliar a precisão da medida devemos considerar a resolução do instrumento de medida. Se para medir comprimento for usada uma régua, podem ser visualizados valores com resolução de até metade do valor da escala.

Veja o caso do bebê, que tem 50 cm de comprimento. Se formos informados que a enfermagem usa um instrumento de medida graduado em centímetros, o comprimento do ebê está entre 49,5 cm e 50,5 cm. Escrevemos: (50,0 ± 0,5) cm. Está assim explícita a incerteza sobre o resultado da medição: essa incerteza é de 0,5 cm, para mais ou para menos. Talvez o operador tenha visto o que está na figura abaixo.

No exemplo, a incerteza é explicada apenas pela limitação do instrumento de medição, que se entende esteja calibrado. Escreve-se X + DX, em que DX é a incerteza. Nos casos em que se faz uma única medição, a incerteza não é avaliada por estatística (desvio padrão). É a chamada incerteza tipo B.

Veja agora a massa do bebê: a menor divisão da escala da balança em que o bebê foi medido é 10 g = 0,01 kg. Para explicitar que 3,54 kg está associada a certo grau de incerteza, considere que o valor medido está entre 3,535 kg e 3,545 kg. Escreva: (3,54 ± 0,005) kg. O operador poderia ter visto o que está na figura abaixo.

Você vai achar, na literatura, o termo erro, para expressar incerteza. Prefere-se o termo incerteza em lugar do termo erro, porque o valor verdadeiro da medida não é conhecido (ISO, 34). De qualquer forma, quando escrevemos X + DX, o incremento DX é a incerteza absoluta (ou erro absoluto, em desuso).

Vamos definir agora incerteza relativa  como segue:

A incerteza relativa ou erro relativo mostra quão grande é a incerteza absoluta, em relação ao tamanho do que foi medido. A incerteza relativa é expressa como uma fração ou, mais convenientemente, como uma porcentagem. Para obter a incerteza relativa em porcentagem, multiplique o resultado da divisão por 100. Em porcentagem, a incerteza relativa é

EXEMPLO

No velocímetro do carro, a menor divisão da escala é 2 km/h. Se você ler no velocímetro 60 km/h, qual é a incerteza relativa? A incerteza absoluta é 1 km/h e a incerteza relativa é 1/100 =0,01 ou 1%. 

Tudo bem até aqui. De qualquer forma, as definições de incerteza absoluta e incerteza relativa, tratadas aqui, foram aplicadas para incerteza avaliação tipo B, mas são igualmente válidas para avaliação tipo A.

No entanto, você ainda pode perguntar: que medida foi feita com maior precisão, a massa ou o comprimento? Não se comparam grandezas físicas diferentes, mas podemos comparar incertezas relativas.

A incerteza relativa é adimensional, isto é, não tem unidade de medida. Isto acontece porque a incerteza absoluta e o resultado da medição são dados na mesma unidade – que então se cancelam. Por ser adimensional, a incerteza relativa é útil para comparar a precisão de grandezas físicas diferentes.

EXEMPLO

Vamos mostrar isso com o exemplo do bebê. Para comprimento, a incerteza relativa é

Para massa, a incerteza relativa é

Podemos então fazer a comparação: a precisão da medida de massa é maior. 

     Para resolver os exercícios, lembre-se de que:

Se o instrumento mede em 1’s, qualquer medida entre 6,5 e 7,5 é lido como 7.

Se o instrumento mede em 2’s, qualquer medida entre 7 e 9 é lido como 8.

EXERCÍCIOS

1.  Você mediu a altura de uma criança com um instrumento graduado em centímetros. Leu 80 cm. Pode dizer a incerteza?

2.  Você mediu a temperatura de uma criança com um termômetro graduado em graus Celsius. A menor divisão da escala é 2ºC. Leu 38ºC. Pode dizer a incerteza?

Respostas

1 Altura H=(80±0,5)cm; incerteza absoluta=0,5 cm; incerteza relativa em porcentagem=(0,5/80)x 100=0,625%.

2 Temperatura t=(38±1)ºC; incerteza absoluta=1ºC; incerteza relativa em porcentagem=(1/38) x 100=2,63%.

VEJA:

1.    http://mathforum.org/library/drmath/view/65797.html

2.    ISO. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement.  International Organization for Standardization (ISO) and the International Committee on Weights and Measures (CIPM): Switzerland, 1993.

3.    chemistry.about.com/od/workedchemistryproblems/fl/Absolute-Error-and-Relative-Error-Calculation.htm Absolute Error and Relative Error Calculation

4.    http://www.mathsisfun.com/measure/error-measurement.html

5.    http://mathforum.org/library/drmath/view/65797.html

Exatidão e precisão

Exatidão significa o grau de concordância entre o resultado da medição e o valor verdadeiro da grandeza. Quanto mais exato for o sistema, mais próximo do valor verdadeiro estará o resultado da medição.

Na prática, o valor verdadeiro não é conhecido. A exatidão descreve, então, a proximidade do resultado da medição com um valor padrão ou de referência ou por técnica reconhecida de medição.

Precisão é o grau com que repetidas medições da mesma grandeza fornecem resultados muito próximos. Os valores só diferem uns dos outros devido aos erros aleatórios. Quanto maior for a precisão, menor será a dispersão dos dados.

É importante entender que exatidão e precisão são conceitos diferentes. A ilustração clássica da distinção entre tais conceitos é dada pelos jogos de tiro ao alvo:

·     Flechas no centro do alvo e próximas uma das outras indicam exatidão e precisão.

·      Flechas bem próximas umas das outras (mesmo que longe do alvo) indicam precisão.

·           Flechas afastadas do alvo e dispersas indicam nem exatidão, nem precisão.

Para medir exatidão e precisão, mede-se repetidamente a mesma grandeza:

·       Exatidão é dada pela diferença entre a média dos resultados de suas medições e o valor verdadeiro das medidas.

·         Precisão é dada pelo desvio padrão dos resultados de suas medições. 

EXEMPLO

Você mediu uma peça três vezes e obtive os resultados:

15,0 pol.; 15,1 pol.; 14,9 pol.

Houve precisão e você escreve:

(15,0±0,01) pol.

Mas se o valor verdadeiro for 40,0 cm, houve exatidão?

Uma polegada são 2,54 centímetros.

Então 15,0 X 2,54 = 38,1 cm. Faltou exatidão.

A exatidão e a precisão dos resultados das medições são atributos diferentes: exatidão indica quão perto as medidas estão do valor verdadeiro (ou de referência), enquanto a precisão mede quão perto as medidas estão umas das outras, mesmo que elas estejam longe do valor verdadeiro.

EXEMPLO

Veja outro exemplo de exatidão e precisão de medidas tomadas experimentalmente. Foram feitas medições de um corpo de 100 mg. Se foram obtidos os valores 98,5; 98,6; 98,7; 98,5, os resultados são precisos, mas pouco exatos. Se foram obtidos os valores 99,6; 101,6; 99,6; 100,5, os resultados são exatos, mas pouco precisos.

É importante lembrar: aparelhos têm, em geral, boa precisão, mas, devido ao muito uso ou aos maus tratos, podem não estar calibrados. Então, não considere corretos resultados apenas porque eles são precisos – eles também precisam ter exatidão.

Para julgar a exatidão e a precisão dos resultados das medições, calculam-se a tendência e o desvio padrão.

Tendência ou viés (também referida em inglês, bias) é a diferença entre o valor convencional ou de referência e a média das medidas obtidas de uma grandeza, nas mesmas condições.

O desvio padrão, que se indica por s, é uma medida da dispersão dos dados de uma amostra. Então, se você tem uma série de resultados de medições (uma amostra das medições possíveis), o desvio padrão é dado pela fórmula:

EXEMPLO

Reveja o primeiro exemplo desta postagem. Você mediu uma peça três vezes e obtive os resultados:

15,0 pol.; 15,1 pol.; 14,9 pol.

A média das medidas é 15,0 pol. O valor verdadeiro é 40 cm =15,7 pol. A tendência ou bias é:

Bias = 15,7-15,0=0,7

Para calcular o desvio padrão, que é uma medida da dispersão, use o EXCEL, mas veja o procedimento de cálculo na tabela abaixo, lembrando que desvio é diferença entre o valor observado e a média.

Agora, observe as figuras abaixo, que apresentam, “em teoria”, erros de medição: na primeira, você, você vê resultados de infinitas medições feitas por dois operadores. Ambos obtiveram medidas exatas (tendência igual a zero), mas o que apresentou a curva em vermelho teve precisão maior do que o que apresentou a curva em preto.

Na segunda figura, você também vê resultados de medições feitas por dois operadores. Ambos obtiveram medidas com igual precisão, mas a exatidão do que apresentou a curva à direita é maior – considerando que o valor verdadeiro está marcado em vermelho. 

VEJA

Dígitos significativos

Número é uma contagem ou uma medição, que nos faz vir à mente uma ideia. Falamos ou escrevemos números usando numerais. 

Numeral é um símbolo ou o nome que representa o número.

Dígito ou algarismo é o símbolo único (no sentido de que é um só) usado para escrever numerais. Assim, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 são os dígitos (ou algarismos) que usamos para escrever numerais.

Em geral, as pessoas dizem número (é o que faremos aqui) em lugar de numeral.

Medição é o processo de obter experimentalmente o valor, que é numérico, de uma grandeza de interesse.

Precisão da medida é uma propriedade relacionada à unidade utilizada na medição. A medida será tanto mais precisa quanto menor for a unidade de medida utilizada. Mas é importante saber trabalhar com os dígitos significativos registrados nos resultados das medições. Então:

·   Dígitos diferentes de zero são sempre significativos. Exemplo: 42,37 tem quatro dígitos significativos.

·       Todos os zeros entre dígitos significativos são sempre significativos. Exemplo: 42, 307 tem cinco dígitos significativos.

·       O número de dígitos significativos é contado começando com o dígito diferente de zero, mais à esquerda. Exemplo: 0,004237 tem quatro dígitos significativos, sendo “4” o primeiro dígito significativo. Os zeros à esquerda não são dígitos significativos.

·       O primeiro dígito significativo de um número é chamado de “o mais significativo”. O dígito mais à direita de um número decimal é chamado de “o menos significativo”. No número 0,0042370, “4” é o dígito mais significativo e “0” é o dígito menos significativo. Se você usar notação científica, isto é, escrever 4,2370 x 10^-3 , o dígito mais à direita (no caso o zero) é o menos significativo.

·       Se o número for um inteiro (sem parte decimal), o número diferente de zero, mais à direita, é o dígito menos significativo. Por exemplo, em 1250, “5” é o dígito menos significativo. 

Dígitos significativos nos cálculos

Os resultados das medições são freqüentemente utilizados em cálculos, cuja precisão é limitada pela precisão das medidas feitas.

Nas somas e subtrações, a precisão do resultado é determinada pela medida de menor precisão (e não pela medida com menor número de dígitos significativos).

Exemplo

São dadas as seguintes medidas: 15 m; 3,125 m; 2,08 m. A soma dos números é 15+3,125+2,08=20,205, mas relate a soma das medidas como 20 m.

Nas multiplicações e divisões, o número de dígitos significativos do resultado deve ser igual ao número de dígitos significativos da medida com menor número de dígitos significativos.

Exemplo

Para determinar a densidade de um material, são dados a massa de 25,324 g e o volume de 25 ml. A densidade é 25,324÷25=1,0 g/ml. Não relate 1,01296 g/ml. 

Dígitos significativos podem ser “perdidos” nos cálculos. Se você tinha R$120,00 e fez uma compra de R$119,99, recebeu de troco 120,00-119,99 =0,01. Seu troco tem apenas um dígito significativo, embora as quantidades envolvidas tenham cinco dígitos significativos.

                                          

                                          Números exatos

É comum o uso de números exatos em cálculos, tais como quantidades definidas, números puros, fatores de conversão. Os números exatos não são considerados para definir o número de dígitos significativos do resultado.  

                                               Exemplo 

É dada a nota de cada um de três alunos em uma prova: 4,5; 8,9; 6,8. Em média, a nota foi (4,5+8,9+6,8)÷3=6,7. 

Arredondar um número é reduzir seus dígitos ao número de dígitos significativos garantido pelo cálculo feito. O método usual para arredondar números é o seguinte:

·      Se o primeiro dígito que você for “cortar” é menor do que 5, apenas faça o corte.   

·       Se o primeiro dígito que você for “cortar” é maior do que 5, aumente o dígito anterior em uma unidade.

·         Se o primeiro dígito que você for “cortar” é 5, veja o dígito anterior:

·         Se for par, apenas proceda ao corte;

·      Se for ímpar, aumente o dígito anterior em uma unidade.

                                                   Exemplos 

Na subtração 7,793 g – 6,25 g, o cálculo resultaria em 1,543 g. Esse valor deve ser arredondado para 1,54 g.

Na subtração 7,799 g – 6,25 g, o cálculo resultaria em 1,549 g. Esse valor deve ser arredondado para 1,55 g.

Na subtração 7,795 g – 6,25 g, o cálculo resultaria em 1,545 g. Esse valor deve ser arredondado para 1,54 g.

Na subtração 7,795 g – 6,26 g, o cálculo resultaria em 1,535 g. Esse valor deve ser arredondado para 1,54 g. 

Avaliação tipo B da incerteza de medição

Quando você relata a medida de uma grandeza, deve escrever

                                 (X + ∆X) unidade de medida

em que X é a melhor estimativa da medida e ∆X é a incerteza associada à medida. Com isso, você está informando que, se fizer outra medição da mesma grandeza em iguais condições, o resultado provavelmente estará no intervalo (X - ∆X) a (X + ∆X).

Se você estimar a incerteza da medição usando outros métodos que não o tratamento estatístico dos resultados de medições repetidas, você estará fazendo uma estimativa tipo B da incerteza. Os outros métodos (os não-estatísticos) de estimar a incerteza são certificados de referência, especificações ou manuais, estimativas baseadas em experiência de longo tempo. Mas quando as condições experimentais ou de tempo permitem uma medição, a melhor estimativa da medida é o resultado conseguido nessa medição.

A incerteza de uma única medição é limitada pela precisão e exatidão do instrumento de medida, além de outros fatores que podem afetar a habilidade do operador. Então, para estimar a incerteza tipo B, use todo seu bom senso: veja as informações do fabricante, verifique a calibração do aparelho e lembre-se do seu treinamento (!). Mas o limite de precisão do instrumento de medida é fundamental.

Todo instrumento de medida tem uma escala, que tem limitações. Nos laboratórios, as medidas são feitas em

·         instrumentos com escalas analógicas ou mecânicas

·         instrumentos com escalas digitais.

Em instrumentos com escalas analógicas ou mecânicas, a incerteza da medida é a metade da menor divisão da escala, desde que a visualização seja possível.

EXEMPLO

Vamos medir a largura de uma folha de papel com uma régua graduada em milímetros. Se lermos 15,8 mm, o valor real deve estar entre 15,75 mm e 15,85 mm. Podemos então dizer que a largura da folha de papel é

(15,8 ± 0,05) cm.

Laboratórios também têm aparelhos digitais. O erro de um aparelho eletrônico é, em geral, ±1 somado ao valor do último dígito, a menos que haja informação diferente do fabricante.

EXEMPLO

Quando lemos na balança digital 90,8 kg, qual será o erro? É ±1 somado ao valor do último dígito, no caso 8. Então, o valor medido está entre 90,7 kg e 90,9 kg, ou seja, é

(90,8 ±0,1) kg.

NOTAS

Uma maneira muito usada para relatar a incerteza associada a um instrumento de medida, é verificar a menor unidade que o instrumento mede e dividir esse valor por 2. Mas este método de estimar a incerteza da medição é recomendável apenas nos casos em que só se fez uma única medição.

EXEMPLO

Se uma balança foi calibrada para fornecer massa até 0,1 g, então a massa de uma amostra pode ser relatada com incerteza de 0,05 g, isto é, ±0,05 g.

Sempre há incerteza sobre o resultado da medição, que é expressa pelo último dígito da medida.

EXEMPLO

Quando se lê 5,07 g ± 0,02 g deve-se entender que o valor real da medida está entre 5,05 g e 5,09 g. 

VEJA:

1.     International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology (VIM)

2.     ISO International Organization for Standardization

3.     Uncertainty, Precision and Accuracyhttp://climatica.org.uk/climate-science-information/uncertainty

4.     Automotive Industry Action Group. http://www.aiag.org/scriptcontent/index.cfm

5.     “Guia para a expressão de incerteza em medição” e a documentos correlatos - INTROGUM - 2009 http://www.inmetro.gov.br/inovacao/publicacoes/INTROGUM_2009.pdf

6.     Uncertainties & Error Analysis Tutorialhttp://physics.wustl.edu/introphys/Phys117_118/Lab_Manual/Tutorials/ErrorAnalysisTutorial.pdf