Avaliação tipo B da incerteza de medição

Quando você relata a medida de uma grandeza, deve escrever

                                 (X + ∆X) unidade de medida

em que X é a melhor estimativa da medida e ∆X é a incerteza associada à medida. Com isso, você está informando que, se fizer outra medição da mesma grandeza em iguais condições, o resultado provavelmente estará no intervalo (X - ∆X) a (X + ∆X).

Se você estimar a incerteza da medição usando outros métodos que não o tratamento estatístico dos resultados de medições repetidas, você estará fazendo uma estimativa tipo B da incerteza. Os outros métodos (os não-estatísticos) de estimar a incerteza são certificados de referência, especificações ou manuais, estimativas baseadas em experiência de longo tempo. Mas quando as condições experimentais ou de tempo permitem uma medição, a melhor estimativa da medida é o resultado conseguido nessa medição.

A incerteza de uma única medição é limitada pela precisão e exatidão do instrumento de medida, além de outros fatores que podem afetar a habilidade do operador. Então, para estimar a incerteza tipo B, use todo seu bom senso: veja as informações do fabricante, verifique a calibração do aparelho e lembre-se do seu treinamento (!). Mas o limite de precisão do instrumento de medida é fundamental.

Todo instrumento de medida tem uma escala, que tem limitações. Nos laboratórios, as medidas são feitas em

·         instrumentos com escalas analógicas ou mecânicas

·         instrumentos com escalas digitais.

Em instrumentos com escalas analógicas ou mecânicas, a incerteza da medida é a metade da menor divisão da escala, desde que a visualização seja possível.

EXEMPLO

Vamos medir a largura de uma folha de papel com uma régua graduada em milímetros. Se lermos 15,8 mm, o valor real deve estar entre 15,75 mm e 15,85 mm. Podemos então dizer que a largura da folha de papel é

(15,8 ± 0,05) cm.

Laboratórios também têm aparelhos digitais. O erro de um aparelho eletrônico é, em geral, ±1 somado ao valor do último dígito, a menos que haja informação diferente do fabricante.

EXEMPLO

Quando lemos na balança digital 90,8 kg, qual será o erro? É ±1 somado ao valor do último dígito, no caso 8. Então, o valor medido está entre 90,7 kg e 90,9 kg, ou seja, é

(90,8 ±0,1) kg.

NOTAS

Uma maneira muito usada para relatar a incerteza associada a um instrumento de medida, é verificar a menor unidade que o instrumento mede e dividir esse valor por 2. Mas este método de estimar a incerteza da medição é recomendável apenas nos casos em que só se fez uma única medição.

EXEMPLO

Se uma balança foi calibrada para fornecer massa até 0,1 g, então a massa de uma amostra pode ser relatada com incerteza de 0,05 g, isto é, ±0,05 g.

Sempre há incerteza sobre o resultado da medição, que é expressa pelo último dígito da medida.

EXEMPLO

Quando se lê 5,07 g ± 0,02 g deve-se entender que o valor real da medida está entre 5,05 g e 5,09 g. 

VEJA:

1.     International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology (VIM)

2.     ISO International Organization for Standardization

3.     Uncertainty, Precision and Accuracyhttp://climatica.org.uk/climate-science-information/uncertainty

4.     Automotive Industry Action Group. http://www.aiag.org/scriptcontent/index.cfm

5.     “Guia para a expressão de incerteza em medição” e a documentos correlatos - INTROGUM - 2009 http://www.inmetro.gov.br/inovacao/publicacoes/INTROGUM_2009.pdf

6.     Uncertainties & Error Analysis Tutorialhttp://physics.wustl.edu/introphys/Phys117_118/Lab_Manual/Tutorials/ErrorAnalysisTutorial.pdf

A distribuição gaussiana dos erros de medida

O conhecimento do mundo em que vivemos é obtido por meio de experimentos e medições. Mas já sabemos que não é possível obter resultados exatos quando medimos. Também sabemos que é preciso minimizar erros e indicar o grau de incerteza dos resultados das medições, ou seja, para que as medidas tenham significado, devemos escrever:

                                       X + DX,

em que X é nossa melhor estimativa da medida e DX é a incerteza associada ao resultado. Ficamos assim conscientes de que, se fizermos novas medições, é bastante provável que os novos valores caiam no intervalo X + DX.

Não há como zerar os erros das medições. No entanto, a distribuição dos erros tem uma aparência típica. Conta a lenda que os assistentes de Gauss, o grande matemático e astrônomo do século XIX, estavam tomando algumas medidas, mas não eram capazes de obter o mesmo resultado, em medições repetidas. Gauss ficou muito zangado e começou a gritar, dizendo que iria mostrar àquela gente que quem sabe medir obtém repetidamente o mesmo valor, todas as vezes. Só que ele não conseguiu fazer isso.  

Mas Gauss era gênio. Desenhou um histograma e percebeu que o desenho tinha o aspecto de uma curva muito conhecida, a “curva do sino”, que depois passou a ser conhecida como a lei gaussiana dos erros. Os estatísticos em geral se referem à “curva do sino” como distribuição normal, mas os físicos preferem a denominação distribuição de Gauss. Vamos então entender a distribuição normal, por meio de um exemplo.   

EXEMPLO

Com um cronômetro na mão para medir o período de oscilação de um pêndulo, você faz n=20 medições. Os resultados estão na tabela dada em seguida.

Leituras do período de oscilação de um pêndulo, em segundos

A média aritmética das n=20 medidas é a melhor estimativa para o período de oscilação:

Então os desvios da média, apresentados na tabela abaixo, estimam os erros de medida. 

Desvios da média das leituras do período

 de oscilação de um pêndulo, em segundos

Vamos contar quantas vezes ocorreu cada valor de desvio da média, isto é, organizar os dados em uma tabela de distribuição de frequências e depois desenhar um histograma.

Tabela de distribuição de frequências

Histograma para os desvios da média das leituras do período

 de oscilação de um pêndulo, em segundos

O que mostra o exemplo? Que desvios ocorrem ao acaso, às vezes maiores, às vezes menores, às vezes positivos, às vezes negativos, mas distribuídos em torno da média aritmética. O grau de dispersão dos desvios em torno da média é dado pelo desvio padrão. No caso do exemplo:

Toda distribuição de frequências é construída com os dados de uma amostra. À medida que aumentamos a amostra, os histogramas começam a se assemelhar à distribuição normal, uma distribuição teórica, dada em gráfico na figura abaixo.

Distribuição normal

Mas reveja o histograma que desenhamos. Não parece razoável considerar que se as medições fossem repetidas muitas e muitas vezes, teríamos um histograma com aspecto muito similar ao da “curva do sino”?

Vamos estudar um pouco mais a distribuição normal, que tem características bem conhecidas:

·                  Graficamente, é uma curva em forma de sino.

·                A média, a mediana e a moda coincidem e estão no centro da distribuição.

·          A curva é simétrica em torno da média. Logo, 50% dos valores são iguais ou maiores do que a média e 50% dos valores são iguais ou menores do que a média.

·                 A curva abriga 100% da população. Isto equivale dizer que a área total sob a curva é 1. 

Simetria da distribuição normal

A distribuição normal é definida quando são dados dois parâmetros: a média, que se representa pela letra grega m (lê-se mi) e o desvio padrão, que se representa pela letra grega s (lê-se sigma). Quando muda a média e/ou o desvio padrão, muda a configuração da curva. Veja a figura abaixo, que mostra distribuições normais com a mesma média e diferentes desvios padrões.

Distribuições normais: média zero, desvios padrões diferentes

Nenhuma distribuição de dados reais tem características idênticas às da distribuição normal. No entanto, se você puder pressupor que a variável que estuda tem distribuição aproximadamente normal, pode considerar que os dados obedecem à chamada “regra empírica”. Veja a figura: de acordo com essa “regra empírica”, cerca de

·     68% (pouco mais de ⅔) dos resultados das medições  estarão a menos de um desvio padrão de distância da média, para mais ou para menos.

·       95% dos resultados das medições estarão a menos de dois desvios padrões de distância da média, para mais ou para menos.

·        99,7% dos resultados das medições estarão a menos de três desvios padrões de distância da média, para mais ou para menos.

Na prática, o que isso significa? Se você tiver muitas e muitas medições de um mesmo mensurando, é bastante provável que a média aritmética esteja perto da medida real e que os resultados das medições tenham distribuição aproximadamente normal. 

Nota: 1.o uso da distribuição normal para avaliar incerteza da medição, é comum na prática. Mas há críticas. Veja, por exemplo,Hulme e Symms, The law of error and the combinationof observations. Royal Astronomic Society.

           2. Veja a avaliação tipo A de incerteza em outra postagem

VEJA

1.          ISO International Organization for Standardization

2.          O exemplo do cronômetro é de Physics Laboratory Tutorial : Error Analysis - Columbia ...

3.          http://reference.wolfram.com/applications/eda/ExperimentalErrorsAndErrorAnalysis.html

4.          Uncertainties & Error Analysis Tutorialhttp://physics.wustl.edu/introphys/Phys117_118/Lab_Manual/Tutorials /ErrorAnalysisTutorial.pdf 

5.          Error Analysis Http://teacher.nsrl.rochester.edu/phy labs/Appendix B/Appendix B.html

6.          

Desvio padrão: medida de dispersão dos resultados das medições

Repetir a medição é a melhor maneira de avaliar a incerteza do resultado, desde que estejamos confiantes de que os erros sistemáticos foram minimizados. Se possível, repetimos as medições no mesmo mensurando em iguais condições n vezes. Aplicamos depois técnicas estatísticas para avaliar a incerteza.

Para entender a lógica dessa avaliação, vamos usar um exemplo clássico: a medição de tempo com um cronômetro. Isto porque o tempo de reação da pessoa que liga e desliga um cronômetro é aleatório e é, de longe, o fator que mais afeta o erro da medição do tempo.

Imagine que você tomou nas mãos um cronômetro para medir o período de oscilação de um pêndulo ¹. Você fez n=5 medições. Os resultados, em segundos, foram: 

3,9; 3,5; 3,7; 3,4; 3,5.

A melhor estimativa para o período de oscilação do pêndulo é a média aritmética dos n = 5 resultados que você obteve: 

Como temos repetições, podemos estimar também os erros aleatórios. Observe os desvios de cada medida em relação à média, que estão apresentados na tabela abaixo. São estimativas dos erros aleatórios.

Medidas do período de oscilação do pêndulo e desvios em relação à média, segundo a ordem da medição

Os resultados das medições estão dispersos em torno da média, de maneira aleatória. Mas precisamos julgar o grau de dispersão desses valores, para avaliar a incerteza da medição. Alguém poderia sugerir usar a média dos desvios em relação à média como medida de dispersão. Mas veja:  

A média dos desvios é igual a zero porque desvios com sinal negativo cancelam desvios com sinal positivo.  Você pode se livrar dos sinais negativos? Claro: é só elevar os desvios ao quadrado. Todos os números ficarão positivos. Você então calcula a média e extrai a raiz quadrada do resultado. Chega, assim, a muito famosa fórmula do desvio padrão:

                              

Essa fórmula é, porém, indicada para calcular o desvio padrão quando se tem medições de toda "população". População, aqui, significa  que precisaríamos fazer um número infinito de medições do mesmo mensurando, nas mesmas condições, para poder calcular s.

Mas você só tem cinco medições do período de oscilação do pêndulo. Então a fórmula tem uma correção e é indicada por s. O desvio padrão de uma amostra é

                                    

Você calcula facilmente o desvio padrão de qualquer amostra no Excel usando a função desvpad. Mas vamos às contas: veja os cálculos intermediários na tabela dada em seguida.

Cálculos intermediários para obtenção do desvio padrão

Sistematizando os cálculos para obter o desvio padrão de uma amostra de 5 (ou, mais genericamente, n) medições: 

1.    Some todos os resultados e divida por 5, para obter a média aritmética.

2.    Subtraia a média de todos os resultados, para obter os 5 desvios em relação à média.

3.    Eleve os 5 desvios ao quadrado e some.

4.    Divida essa soma por 5-1=4.

5.    Extraia a raiz quadrada. 

É comum escrever a formula do desvio padrão como segue:

A fórmula (3) parece mais difícil do que a fórmula (2), mas é mais fácil de aplicar para quem usa uma calculadora. Veja os cálculos intermediários na tabela abaixo.

Cálculos intermediários para obtenção do desvio padrão

Quando se apresenta a fórmula do desvio padrão para uma amostra, sempre surge a pergunta: por que dividir a soma dos quadrados dos desvios por n-1 e não por n? Há demonstrações teóricas de que a correção é necessária, mas há uma explicação intuitiva.

Se a natureza do experimento permitir uma só medição - por exemplo, imagine que você tomou nas mãos um cronômetro para medir o tempo de queima de uma vela - o resultado obtido é a melhor estimativa para o tempo de queima da vela. E esse valor único é a média. Não há, porém, possibilidade de estimar a dispersão dos desvios da média. Reveja novamente a fórmula para calcular o desvio padrão: se n=1, n-1=0. O divisor zero torna impossível estimar a dispersão dos desvios. O valor n-1 é chamado graus de liberdade.

O desvio padrão é uma medida da dispersão dos resultados das medições. Para visualizar que o desvio padrão mede a dispersão, é melhor ver um exemplo. Imagine então que dois amigos seus resolveram medir, também, o tempo de oscilação do mesmo pêndulo. O Amigo Nº 1 obteve 

3,7; 3,6; 3,9; 3,5; 3,3

O Amigo Nº 2 obteve 

4,0; 3,5; 3,7; 3,2; 3,6

As médias e os desvios padrões, para os três, você e seus amigos 1 e 2, estão na tabela dada em seguida. Os resultados das medições estão apresentados em gráfico, logo abaixo e permitem melhor visualização da dispersão. Note que quanto maior é a dispersão, maior é o desvio padrão. 

Médias e desvios padrões para as três séries de medições

                   

Distribuição das três séries de medições

A avaliação tipo A da incerteza da medição, que usa o desvio padrão em seu cálculo, será tratada em outra postagem.

NOTA

1        O exemplo do cronômetro é de Physics Laboratory Tutorial : Error Analysis - Columbia ...

EXERCÍCIOS

1.               Calcule a média e o desvio padrão do resultado de cinco medições de uma peça, que forneceu os seguintes valores, em milímetros:

200,1; 200,5; 200,3; 200,2; 200,4.

2.                Foram enviadas oito amostras de um mesmo produto que continha 10,5% de K₂O para oito laboratórios diferentes. Cada laboratório fez uma determinação da porcentagem de K₂O no produto. Calcule a média e a desvio padrão. As determinações são dadas em seguida.

10,8; 11,2; 10,5; 11,0; 10,9; 11,1; 10,8; 10,7.

3.           Para estabelecer a capacidade de perfuração de uma perfuradora hidráulica em estruturas rochosas, foi feito um experimento. Tomaram-se medidas da profundidade (em polegadas) da perfuração feita em 10 locais. Os dados estão na tabela dada abaixo.  Calcule a média e a desvio padrão.

                                Resultados do experimento para medir a capacidade de perfuração

 de uma perfuradora hidráulica

RESPOSTAS

Propagação de erros: somas e diferenças

Vamos supor que você mora a uma distância confortável da escola. São 825 metros ± 5 metros, em linha reta. Você toma o caminho da escola, mas pára na frente da casa de um colega para chamá-lo e dali caminharem juntos. Sua parada é a 260 metros ± 10 metros de sua casa. Quantos metros você ainda deve caminhar para chegar à escola, depois de encontrar o colega?

O cálculo do valor central é fácil: depois da casa do colega, você caminha (825-260) metros = 565 metros.

Mas e os erros? Você precisa admitir duas possibilidades:

Você comete erros que dariam um tamanho maior a sua caminhada. Seria errar

5 metros a mais na distância de sua casa a escola e

10 metros a menos da sua casa à parada na casa do colega.

                                Isso daria a distância máxima (825+5) – (260-10)= 580 metros. 

Você comete erros que dariam um tamanho menor a sua caminhada. Seria errar

5 metros a menos na distância de sua casa a escola e

10 metros a mais da sua casa à parada na casa do colega.

        Isso daria distância mínima (825-5) – (260+10)= 550 metros.

Qual seria o erro? Qualquer coisa entre 550 e 580 metros. Portanto

                              580-550=15 metros.

Talvez você tenha notado que o erro final foi de 15 metros, ou seja, a soma dos dois erros envolvidos no cálculo. Não é coincidência. Observe como você somou os erros. E então temos a regra geral:

O erro absoluto do resultado de uma soma ou de uma diferença é dado pela soma dos erros absolutos das quantidades originais.

            VEJA: Error Propagation  HTTPS://phys.columbia.edu/~tutorial/propagation/