Teorema da multiplicação de probabilidades ou a regra do e

Para bem entender o teorema da multiplicação de probabilidades, ajuda pensar o teorema dividido em duas regras: a regra nº 1, para a multiplicação de eventos independentes e a regra nº 2, para a multiplicação de eventos dependentes. Vamos começar pela “regra número 1”.

Eventos independentes

Dois eventos, A e B, são independentes se a ocorrência de um deles (A ou B) não tem efeito sobre a ocorrência do outro (B ou A).

Exemplo

Quando se lançam dois dados, o resultado em um dos dados não tem qualquer efeito sobre o resultado que ocorre no outro dado. Dizemos então que os eventos são independentes.

Na vida real encontramos muitos exemplos de eventos independentes. Por exemplo, “chover hoje” e “ser feriado amanhã” são eventos independentes porque o fato de “chover hoje” não muda a possibilidade de “ser feriado amanhã”, nem o fato de “ser feriado amanhã” muda a possibilidade de “chover hoje”. Na área de saúde, existem vários exemplos de eventos independentes: o fato de uma pessoa ser míope não afeta a probabilidade de ter cárie dentária; a profissão não afeta a probabilidade de uma pessoa ter cálculos renais; o estado civil do cidadão não modifica a probabilidade de ser calvo.

Regra 1 da multiplicação (para eventos independentes)

Se A e B são eventos independentes, a probabilidade de ocorrer A e B é dada pela probabilidade de ocorrer A, multiplicada pela probabilidade de ocorrer B. Escreve-se: 

Exemplo

Você lança dois dados ao mesmo tempo: um é vermelho e o outro é amarelo. Qual é a probabilidade de ocorrer a face 3 no dado amarelo e a face 5 no dado vermelho? Usando a regra 1 da multiplicação, você calcula a probabilidade de ocorrer face 3 no dado amarelo e face 5 no dado vermelho. Depois, multiplica essas probabilidades.

Eventos dependentes

Se a ocorrência do evento A modifica a probabilidade de ocorrência do evento B, dizemos que esses dois eventos, A e B, são dependentes.

Exemplo

Há seis meias em uma gaveta: três vermelhas e três azuis. Você quer um par de meias vermelhas. Sem olhar, você retira uma meia da gaveta. É vermelha. Sem recolocar essa meia de volta na gaveta, você retira uma segunda meia. Nesta segunda retirada, a probabilidade de a segunda meia ser vermelha é menor. Por quê?


      Na 1ª retirada você tinha três meias vermelhas em seis, ou seja, metade das meias era vermelha. Na 2ª retirada você tinha duas meias  vermelhas em cinco, ou seja, menos da metade das meias eram vermelhas. A probabilidade de sair meia vermelha na primeira retirada modifica a probabilidade de sair meia vermelha na segunda retirada. Dizemos então que esses eventos são dependentes.

Na vida real é comum nos depararmos com exemplos de eventos dependentes, ou seja, de eventos que embora não constituam, necessariamente, a “causa” de outros, aumentam a probabilidade desses outros eventos acontecerem. Por exemplo, o hábito de fumar aumenta a probabilidade de a pessoa ter câncer de pulmão; o motorista alcoolizado tem maior probabilidade de provocar acidente de trânsito; a criança imunizada para determinada doença tem menor probabilidade de ter essa doença.

Probabilidade condicional

Probabilidade condicional de B dado A é a probabilidade de ocorrer o evento B sob a condição de o evento A ter ocorrido. Indica-se por P(B|A), que se lê “probabilidade de B dado A”.

Exemplo

Há seis meias na gaveta: três vermelhas e três azuis. Você quer um par de meias vermelhas. Sem olhar, retira uma meia da gaveta e, sem recolocar essa meia na gaveta, retira outra. Qual é a probabilidade de ambas serem vermelhas?

Você tem aí uma probabilidade condicional: probabilidade de segunda meia vermelha dado primeira meia vermelha. Em outras palavras, foi calculada a probabilidade de sair uma segunda meia vermelha sob a condição de a primeira meia retirada ser vermelha.

Toda vez que calcularmos a probabilidade condicional de B dado A, devemos lembrar que o espaço amostral fica reduzido – a condição de o evento A ter ocorrido diminui o espaço amostral para a ocorrência do evento B .

Exemplo

Um dado foi lançado. 1) Qual é a probabilidade de ocorrer número 5? 2) Qual é a probabilidade de ocorrer número 5, dado que ocorreu número ímpar? 

Para responder a primeira questão, você tem seis eventos no espaço amostral e apenas um deles é de interesse. Para responder a segunda questão, você tem três eventos no espaço amostral e, também, apenas um deles é de interesse. Então

                         
                             Regra 2 da multiplicação (para eventos dependentes)

Se A e B são eventos dependentes, a probabilidade de ocorrer A e B é dada pela probabilidade de ocorrer A multiplicada pela probabilidade de ocorrer B dado que A ocorreu (esta probabilidade é condicional). Escreve-se: 

Exemplo

Cinco bolas que se distinguem apenas pela cor são colocadas dentro de um chapéu e perfeitamente misturadas. Três dessas bolas são azuis e duas são vermelhas. Retiram-se duas bolas ao acaso do chapéu, sem olhar, uma em seguida da outra e sem que a primeira tenha sido recolocada. Qual é a probabilidade de que as duas sejam vermelhas?

O chapéu contém cinco bolas: duas são vermelhas. Então a probabilidade de a primeira bola retirada ser vermelha é

Como a bola retirada não foi recolocada, restam quatro bolas no chapéu.  Se a primeira bola retirada era vermelha, das quatro bolas que ficaram no chapéu apenas uma é vermelha. A probabilidade (condicional) de a segunda bola retirada ser vermelha é:

A probabilidade de as duas bolas retiradas serem vermelhas é dada pelo produto:

                       Condição de independência

Dois eventos são independentes se a probabilidade de que ocorram juntos é igual ao produto das probabilidades de que ocorram em separado, uma vez que a ocorrência de um deles em nada ajuda a ocorrência do outro.

Exemplo

A questão da independência é bem ilustrada pelo jogo de uma moeda duas vezes: o resultado do primeiro lançamento não influi no resultado do segundo lançamento. Os dois eventos são independentes.

Veja probabilidade em:

                       Vieira, S. Introdução à Bioestatística. Rio de Janeiro. Elsevier.
                        Vieira, S. Estatística para a Qualidade. Rio de Janeiro. Elsevier.

Teorema da soma de probabilidades ou a regra do ou

Para bem entender a soma de probabilidades, ajuda dividir a questão em duas regras: a regra nº 1, para a soma de eventos mutuamente exclusivos e a regra nº 2, para a soma de eventos não mutuamente exclusivos.

                              Eventos mutuamente exclusivos

Se dois eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo, dizemos que são mutuamente exclusivos. A ocorrência de um desses eventos exclui (impede) a ocorrência do outro.

                                                Exemplo
Quando você joga um dado, só pode ocorrer uma das faces. Então se a ocorreu a face “cinco”, ficou excluída a possibilidade de ter ocorrido qualquer outra face.

Regra 1 da soma (para eventos mutuamente exclusivos)

Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrer A ou B é igual à soma das probabilidades de ocorrer cada um deles. Escreve-se:

 Exemplo

Quando você joga um dado, só pode ocorrer uma das faces. Qual é a probabilidade de, em um lançamento, ocorrer 1 ou 6? Usando a regra 1 da soma, você calcula a probabilidade de ocorrer 1 e a probabilidade de ocorrer 6. Depois, soma essas probabilidades.

Exemplo

Imagine um pote de vidro com 11 bolinhas de diferentes cores: 3 azuis, 4 brancas, 2 vermelhas, 1 amarela, 1 verde. Qual é a probabilidade de, em uma só retirada, ocorrer bola verde ou bola amarela? Usando a regra 1 da soma, você calcula a probabilidade de ocorrer bola verde e a probabilidade de ocorrer bola amarela. Depois, soma essas probabilidades.

  Eventos não mutuamente exclusivos

Dois eventos A e B são não mutuamente exclusivos se eles têm pelo menos um resultado em comum.

Exemplo

Quando você joga um dado, só pode ocorrer uma das faces. Mas pense nos eventos: ocorrer “número ímpar” ou ocorrer “número maior do que quatro”. Esses dois eventos têm um resultado em comum: é o número cinco, que tanto pertence ao evento “número ímpar” como ao evento “número maior do que quatro”.

Veja a figura: “números ímpares” estão circundados por uma elipse azul e “números maiores do que quatro” por um retângulo vermelho. Se você contar o número de resultados que correspondem ao evento “número ímpar” e o número de resultados que correspondem ao evento “número maior do que quatro”, terá contado 5 duas vezes.  

                   

Regra 2 da soma (para eventos não mutuamente exclusivos)

Se A e B são dois eventos não mutuamente exclusivos, há uma sobreposição, isto é, existe pelo menos um resultado de A que também é resultado de B. Então a probabilidade de ocorrer A ou B é dada pela probabilidade de A, mais a probabilidade de B, menos a probabilidade de A e B (contada duas vezes). Escreve-se:

Exemplo

Quando você joga um dado, só pode ocorrer uma das faces. Qual é a probabilidade de, em um lançamento, ocorrer “número ímpar” ou ocorrer “número maior do que quatro”? Usando a regra 2 da soma, você calcula a probabilidade de ocorrer “número ímpar”, a probabilidade de ocorrer “número maior do que quatro” e probabilidade de ocorrer “número ímpar maior do que quatro”. Depois, aplica a regra 2:

Exemplo

Uma carta será retirada ao acaso de um baralho. Qual é a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas?

Como um baralho tem 52 cartas, das quais quatro são reis e 13 são de copas, alguém poderia pensar que a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas é dada pela soma

                           

 Mas esta resposta está errada porque o rei de copas é tanto rei como copas. Então o rei de copas teria sido contado duas vezes – como rei e como copas. 

Para obter a probabilidade de sair uma sair um rei ou uma carta de copas, some as probabilidades de sair rei e sair carta de copas e subtraia a probabilidade de sair o rei de copas, contado duas vezes:  

Exercícios

1. É dado o conjunto de dados: A={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}.

      a)    Qual é a probabilidade de, ao se tomar um número ao acaso desse conjunto A de dados, o número ser um ímpar menor do que 4 ou um ímpar maior do que 8?
    b)    Qual é a probabilidade de, ao se tomar um número ao acaso desse conjunto A de dados, o número ser um ímpar ou múltiplo de 3?

     2. Qual é a probabilidade de, ao lançar um dado, sair número ímpar ou múltiplo de 3? 

3. Jogam-se um dado e uma moeda. O jogador ganha se sair “cara” na moeda ou “2” no dado. Qual é a probabilidade de o jogador ganhar arremessando juntos o dado e a moeda?

Respostas:

            1.  a) 3/10.

            1.  b) 3/5.
            2.  2/3
            3. 7/12

Como se chegar a essas respostas?

1.a) São 10 eventos possíveis.São eventos de interesse:ímpares menores do que 4, isto é, 1 e 3 e maiores do que 8, ou seja, só o 9. Veja os eventos de interesse em vermelho:
                     1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10. 
Daí, a resposta 3/10.
1.b) São 10 eventos possíveis.São eventos de interesse:ímpares ou múltiplos de 3. São ímpares: 1; 3; 5; 7; 9. São múltiplos de 3: 3; 6; 9. Veja que os números 3 e 9 foram contados duas vezes, porque são tanto números ímpares como múltiplos de 3. Usando a regra 2 da soma:

Veja as respostas de interesse marcadas em vermelho (ímpares) e circundadas por quadrado (múltiplos de 3):

2. São 6 eventos possíveis, dos quais 3 são números ímpares e 2 são múltiplos de 3, mas 3 é tanto ímpar como múltiplo de 3. Então, aplicando a regra 2 da soma:
                  
Veja as respostas de interesse marcadas em vermelho, múltiplos de 3 e em azul, os ímpares.

3. Veja: tanto faz sair “cara” na moeda ou “2” no dado, o jogador ganha nos dois casos. A probabilidade de sair “cara” na moeda é

  A probabilidade de sair “2” no dado é 

 No entanto, pode “sair cara” na moeda e “2” no dado em uma única jogada. A probabilidade desse evento é

 Logo, para calcular a probabilidade de o jogador ganhar, use a regra 2 da soma. A probabilidade pedida é

Veja também a tabela e conte: são 12 eventos possíveis; 7 são de interesse. Logo, a probabilidade pedida é 7/12.

 

Conjuntos

Vamos lembrar um pouco da teoria dos conjuntos, para continuar estudando probabilidades. Conjuntos são coleções de itens. Você pode pensar no conjunto de pessoas que vai convidar para sua festa de aniversário, no conjunto de feriados no semestre, no conjunto de árvores de uma praça, no conjunto de roupas que vai precisar para uma viagem. Os itens contidos no conjunto são chamados de elementos. Para designar os elementos de um conjunto, você os escreve em sequência entre chaves, separando-os por vírgula. Então, seja I o conjunto de seus irmãos. Se eles se chamam Mateus e Lavínia, o conjunto de seus irmãos é escrito como segue:

I = {Mateus, Lavínia}

Lembra-se do diagrama de Venn? É o desenho em que os itens de um conjunto são representados dentro de um círculo. No desenho há sempre dois ou mais círculos. Cada círculo representa um conjunto. Para desenhar um diagrama de Venn, faça primeiro um retângulo que representará o todo ou universo. Coloque dentro dele círculos representando os conjuntos. Por exemplo, se você é torcedor do time de futebol que disputa um campeonato, você tem dois conjuntos de jogadores: os do “seu” time e os do time rival.

Dois conjuntos são chamados de disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum. É o caso do exemplo que acabamos de ver.

 Há conjuntos que têm elementos em comum, isto é, um ou mais elementos pertencem simultaneamente a dois ou mais conjuntos. Por exemplo, imagine o conjunto D de animais domésticos e o conjunto F de felinos. O gato pertence aos dois conjuntos.  No diagrama de Venn, há uma região que é a sobreposição dos círculos. Essa região é chamada intersecção e escrevemos D∩F, que se lê D intersecção F.

Quando tanto interessam elementos de um conjunto como de outro, dizemos estar interessados na união dos conjuntos. Por exemplo, se o diretor de uma escola quer falar com uma pessoa que seja da comissão de formatura que é formada por alunos (conjunto A) e professores (conjunto P), não importa se essa pessoa é aluno ou professor, o diretor está interessado em um elemento de A união P. A região, chamada união, é indicada por AÈP, que se lê A união F.

O conjunto de todos os elementos possíveis é chamado universo e geralmente indicado por U. No primeiro exemplo, o universo poderia ser constituído por todos os jogadores de futebol, no segundo exemplo, por todos os animais, no terceiro, por todo o corpo docente e discente da escola. Conjunto vazio é aquele que não tem elemento. Por exemplo, o conjunto de universitários analfabetos é vazio. Indicamos pela letra grega f, que se lê fi. Podemos usar esse conhecimento de conjunto para resolver problemas ¹.

Exemplo ²: Em um canil estão 24 cães: 12 são pretos, seis têm cauda curta e 15 têm pelos longos. Apenas um cão é preto, tem cauda curta e pelos longos. Dois cães são pretos e têm cauda curta, mas não têm pelos longos. Outros dois cães têm cauda curta e pelos longos, mas não são pretos. Se todos os cães do canil têm pelo menos uma das características citadas, quantos cães são pretos, com pelos longos, mas não têm cauda curta?

·      Os números de cães em cada categoria estão escritos fora dos círculos, com realce amarelo.

·      Escreva nas interseções o número de cães em cada uma. Eles estão em vermelho. A incógnita é o número de cães na interseção.

·      Faça as contas indicadas em letras azuis usando os dados que estão fora dos círculos com realce amarelo, para determinar quantos cães estão em cada um dos conjuntos: pretos, cauda curta, pelos longos. 

·      Agora é possível resolver o problema: some os números de cães em cada um dos conjuntos. Essa soma é igual a 24, número de cães no canil. Então:

                                   9-x+2+1+x+1+2+12-x =24

                                  27- x=24

                                  x=3

Referências

1.    Working with Sets and Venn Diagrams. http://www.regentsprep.org/regents/math/algebra/ap2/lvenn.htm

2.    Elementary Test Prep: Math 4 Test (Grades 4) Draw a Picture

www.studyzone.org/testprep/math4/.../drawpict4l.cf..