Teste de Tukey: o teste das diferenças honestas

Uma análise de variância (ANOVA) testa a hipótese de igualdade entre as médias populacionais de vários grupos. No entanto, essa análise não identifica quais grupos possuem médias estatisticamente diferentes entre si. O teste F realizado na ANOVA testa a hipótese

                                        H₀: m₁=m₂= … =m_k

contra a hipótese de que existe pelo menos uma diferença de médias diferente de zero. Pelo fato de não identificar onde estão as diferenças, o teste F realizado na ANOVA é conhecido como teste global ou omnibus test.

De qualquer forma, se a análise de variância resulta significante, o pesquisador procura um teste para comparar as médias duas a duas (pairwise comparisons) e assim identificar os grupos que diferem entre si. Neste post, trataremos um desses testes - o teste de Tukey -provavelmente o mais utilizado nessas situações.                              

Na prática, é bastante conveniente o fato de o pesquisador não precisar definir, já no projeto de pesquisa,  quais comparações fará. E isto o teste de Tukey faz: realiza comparações não planejadas (unplanned comparisons). Por essa razão, é considerado um teste a posteriori (post-hoc). 

🧩 Procedimento para o teste de Tukey

Para aplicar o teste de Tukey, é preciso calcular a diferença honestamente significante que deve existir entre duas médias para que elas possam ser consideradas significantemente diferentes, a um dado nível  α. 

Essa diferença, indicada por HSD,  é dada pela fórmula:

Onde:

·  q_(k,gl,α) é a amplitude estudentizada, valor que se obtém em tabela e está associado ao número de grupos (k), aos graus de liberdade do resíduo (gl) e ao nível de significância (α);

·  QMR é o quadrado médio do resíduo da ANOVA;

·  r é o número de repetições por grupo.

Duas médias são consideradas estatisticamente diferentes no nível de significância estabelecido (α) sempre que o valor absoluto da diferença entre elas for maior ou igual à HSD.

                🛑  Como usar a tabela de amplitude estudentizada q

Veja o trecho da tabela apresentado a seguir. O valor em negrito corresponde à comparação de médias em um experimento com seis tratamentos (k=6) e 24 graus de liberdade no Resíduo da ANOVA (gl=24), com nível de significância de 5%.

Tabela

Valores de q para α=5%

💡 Observe: Nos softwares e na literatura em inglês, é comum usar a sigla HSD (Honestly Significant Difference)  para identificar a diferença honestamente significante calculada no teste de Tukey. No Brasil, essa diferença costuma ser chamada de diferença mínima significante e é  representada pela letra grega Δ(delta).

Contudo, vale uma observação importante: em língua inglesa, o termo Least Significant Difference (LSD) refere-se especificamente ao teste de Fisher. No caso do teste de Tukey, a diferença mínima entre médias é chamada de Honestly Significant Difference (HSD),  denominação dada por seu autor, John W. Tukey.

                                         🔍 EXEMPLO

Considere os dados de diminuição da pressão arterial, apresentados na Tabela 1. Esses dados foram submetidos a uma análise de variância (Tabela 2). Como o valor de F é significante no nível de 5%, concluímos que existe pelo menos uma média diferente das demais. As médias dos grupos são apresentadas na Tabela 2.

Tabela 1

Diminuição da pressão arterial (mmHg) segundo o grupo

 

Tabela 2

Médias da diminuição da pressão arterial por grupo

Tabela 3

Análise de variância (ANOVA)

Queremos saber quais médias são significativamente diferentes entre si. Para isso, vamos aplicar o teste de Tukey.

Cálculo da HSD

·     q = 4,3727: valor da tabela de q para k=6, gl=24, α=5%;

·     QMR =36,00: quadrado médio do resíduo da ANOVA;

·     r = 5: número de repetições por grupo.

Comparações de Médias

Agora, comparamos as médias duas a duas. As diferenças significantes no nível de 5% estão indicadas com um asterisco.

Tabela 4

Diferenças de médias da diminuição da pressão arterial

 

✅ Conclusão De acordo com o teste de Tukey, no nível de 5% de significância:

              ·  a média do tratamento A é maior do que a de B e a do controle;

              · a média do tratamento D é maior do que as médias de B, C, E e controle. 

                                          🧩 Outputs

1. MINITAB

Tukey Pairwise Comparisons 

 Grouping Information Using the Tukey Method and 95% Confidence

 

  Treatment   N   Mean  Grouping

  D                5   29,00     A

  A                5   21,00     A  B

  E                5   13,00         B  C

  C                5   10,00         B  C

  B                5     8,00              C

  Control       5     2,00              C

 Means that do not share a letter are significantly different.

2. SAS

 

                          Error Mean Square              36

              Critical Value of Studentized Range  4.37265

                   Minimum Significant Difference    11.733

 

 Means with the same letter are not significantly different.

 

                      Tukey Grouping          Mean      N    trat

 

                                      A                29.000        5     4

                                      A 

                              B      A               21.000         5     1

                              B

                              B      C               13.000         5    5

                              B      C

                              B      C               10.000         5    3

                                      C

                                     C                 8.000        5    2        

                                     C                 2.000        5    6

              ·  a média do tratamento A é maior do que a de B e a do controle;

              · a média do tratamento D é maior do que as médias de B, C, E e controle. 

                                          🧩 NOTA

Entenda  resultados  indicados por letras, usuais em outputs de softwares: 

· quando letras diferentes aparecem em frente a duas médias, a diferença entre essas médias é estatisticamente significante; 

· quando a mesma letra aparece em frente a duas médias, a diferença entre essas médias não é estatisticamente significante.

Tabela 5

  Comparação das médias de diminuição da pressão arterial